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Measures of maximum entropy for surface diffeomorphisms

One expects measure maximizing the entropy (m.m.e.) to be especially “interesting”, especially for dynamics with “some hyperbolicity”. For instance, under some (hyperbolicity) assumptions, one expects them to determine all the aperiodic invariant probability measure (see this expository paper). By a theorem of Newhouse (1987) based on Yomdin’s theory, $C^\infty$ smoothness ensures the existence of some m.m.e.

Finite multiplicity is a harder question – often it can be solved only after a thorough understanding of the dynamics. It is a classical result for uniformly hyperbolic diffeomorphisms. I proved it in my thesis for $C^\infty$ interval maps with nonzero entropy (finite smoothness is not enough, even though Ruelle’s inequality shows that all ergodic measures with lower bounded entropy have lower bounded Lyapunov exponents).

Here, at the School and Conference on Dynamical Systems at ICTP, I presented the following answer to a long standing question of Newhouse:

Theorem (B-Crovisier-Sarig). A $C^\infty$ smooth diffeomorphism of a compact surface with nonzero topological entropy has finitely many ergodic measures maximizing the entropy.

You can see the slides here.

Dans le cadre du groupe de travail sur les cocycles au-dessus des dynamiques hyperboliques, Jiagang YANG a présenté ce 3 février 2012 ses récents travaux exploitant les propriétés de continuité de l’entropie topologique ou mesurée en fonction de la mesure et/ou de la transformation, notamment pour l’étude de la dynamique générique et de faible régularité.

1. Entropie topologique

Notons $\mathcal T(M)$ l’ensemble des difféomorphismes admettant une tangence homocline. Notons $B_f(x,\epsilon,n):=\{y:\forall 0\leq k la boule dynamique. Notons $h_{top}(f)$ l’entropie topologique de $f$.

Théorème (Liao, Viana, Yang). Tout difféomorphisme de ${Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}$ est robustement entropie-expansif: il existe $\epsilon>0$ et un voisinage $\mathcal U\ni f$ tels que pour tous $g\in\mathcal U$, on a: $h_{top}(g,B_g(x,\epsilon,\infty))=0$.

Conséquences.

1. $f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}\mapsto h_{top}(f)$ est semi-continu supérieurement (scs).
2. La conjecture de l’entropie de Shub est vérifiée pour tout $f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}$.

2. Entropie mesurée dans le cas conservatif

Théorème (Yang). L’ensemble des points de continuité de $f\in{Diff}^1(M)\mapsto h_{vol}(f)$ est générique.

Corollaire. La formule de Pesin $h_{vol}(f)=\int \sum_i \lambda_i(f,x)^+\, dvol$ s’étend au cas $C^1$.

Corollaire. L’ensemble des points de continuité de $f\mapsto (x\mapsto \lambda_i(f,x)\in L^1(vol)$ est générique.

3. Anosov topologiquement transitifs

Si $f_n\in{Diff}^2(M)$ $C^1$-convergent vers $f\in{Diff}^2(M)$ alors les mesures SRB des $f_n$ convergent vaguement vers celle de $f$.

Un difféomorphisme $f\in{Diff}^1(M)$ générique, topologiquement transitif, possède exactement une mesure physique.

4. Transformation plutôt contractantes

M. Andersson a montré que la condition être “plutôt contractant” (mostly contracting) est ouverte dans la topologie $C^2$. Est-ce encore le cas pour la topologie $C^1$?

Proposition (Yang). L’ensemble des difféomorphismes de classe $C^1$ partiellement hyperboliques avec: dimension centrale égale à 1; plutôt contractants; d’exposant centre-instable strictement négatif forment un ouvert $C^1$.