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Archive for the ‘talks’ Category

Le 21 novembre dernier Thomas Fernique a défendu son habilitation à diriger des recherches au Laboratoire d’Information de Paris-Nord. Il étudie les pavages et tout particulièrement les pavages ordonnées et apériodiques, modélisant les célèbres quasi-cristaux découverts dans les années 1980. Ses travaux explorent les liens entre différentes classes naturelles de tels systèmes dynamiques multidimensionnels (ie, définis par une action de R^d, d\geq 1): pavages sofiques et substitutifs; pavages planaires vs. sofiques ou de type fini; pavages obtenus par recuit.

L’exposé était suivi d’un pot agrémenté d’un pavage de Penrose (pavage défini par un plan plongé dans R^5) en chocolats blancs et noirs, digne suite d’une autre réalisation à découvrir ici.

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Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.

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On sait que les homéomorphismes du tore isotopes à un Anosov linéaire admettent celui-ci comme facteur. Andres Koropecki a expliqué le travail en cours suivant:

Théorème (de Carvalho, Koropecki, Tal). Soit un homéomorphisme f du tore bidimensionnel isotope à l’identité et dont l’ensemble de rotation est d’intérieur non-vide. Supposons f  de classe C1+. Alors il existe un facteur topologique F vérifiant:

  • F est encore un homéo du tore isotope à l’identité
  • l’ensemble de rotation est inchangé
  • F est topologiquement mélangeant
  • l’union de ses fers à cheval topologiques est dense
  • les fibres de la semiconjugaison sont des intersections décroissantes de disques

Les propriétés supplémentaires de F par rapport à f ne restreignent donc pas l’ensemble de rotation.

La semiconjugaison est obtenue en quotientant par les compacts connexes homologiquement inessentiels et dont le diamètre du relevé reste borné sous la dynamique.

Remarques. Le théorème d’Oxtoby-Ulam permet de choisir F conservatif. L’hypothèse de régularité est peut-être purement technique.

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J’ai présenté en séminaire les résultats obtenus avec Mike BOYLE d’une part (conjugaison borélienne modulo les mesures d’entropie nulle avec une chaîne de Markov topologique), avec Sylvain CROVISIER et Omri SARIG (nombre fini de mesures d’entropie maximale dans le cas C infini):

  • Séminaire d’Analyse de Bordeaux, 3 mars 2016 (transparents)
  • Séminaire de Systèmes Dynamiques, 2 février 2016.

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One expects measure maximizing the entropy (m.m.e.) to be especially “interesting”, especially for dynamics with “some hyperbolicity”. For instance, under some (hyperbolicity) assumptions, one expects them to determine all the aperiodic invariant probability measure (see this expository paper). By a theorem of Newhouse (1987) based on Yomdin’s theory, C^\infty smoothness ensures the existence of some m.m.e.

Finite multiplicity is a harder question – often it can be solved only after a thorough understanding of the dynamics. It is a classical result for uniformly hyperbolic diffeomorphisms. I proved it in my thesis for C^\infty interval maps with nonzero entropy (finite smoothness is not enough, even though Ruelle’s inequality shows that all ergodic measures with lower bounded entropy have lower bounded Lyapunov exponents).

Here, at the School and Conference on Dynamical Systems at ICTP, I presented the following answer to a long standing question of Newhouse:

Theorem (B-Crovisier-Sarig). A C^\infty smooth diffeomorphism of a compact surface with nonzero topological entropy has finitely many ergodic measures maximizing the entropy.

You can see the slides here.

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La simulation numérique est un outil central dans l’étude pratique des systèmes dynamiques. On la modélise de la façon suivante. Soit f:X\to X une application continue sur un espace métrique compact. Une discrétisation de pas \epsilon est la donnée d’une application f_*:X_*\to X_* d’une partie finie \epsilon-dense avec d(f(x),f_*(x))<\epsilon pour tout x\in X_*. Si X=\mathbb T^d, la discrétisation uniforme d’ordre N\geq1 est définie par X_N:=N^{-1}\mathbb Z^d\cap[0,1[^d+\mathbb Z^d et f_N:X_N\to X_N est une application mesurable telle que d(f_N(x),f(x))\leq d(y,f(x)) pour tout x,y\in X_N.

Problématique: les propriétés dynamiques de f:X\to X peuvent-elle se lire sur ses discrétisations et comment?

Ce sujet ne se laisse pas attaquer directement par les techniques habituelles de la théorie des systèmes dynamiques et la plupart des questions naturelles restent ouvertes malgré quelques résultats et expériences intriguantes (voici une introduction partielle et informelle à la littérature “historique”).

Pierre-Antoine Guihéneuf a donné un séminaire à Orsay sur le cas des dynamiques génériques préservant le volume. Il a annoncé:

Théorème (Guihéneuf 2015). Il existe un ensemble G_\delta dense de difféomorphismes conservatifs f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d de classe C^1 tels que la proportion de points périodiques pour f_N tend vers 0 quand N\to\infty.

La preuve est délicate, y compris dans le cas “jouet” d’une suite d’applications linéaires. Ce résultat suggère que le comportement des discrétisations peut se comparer à celui d’une application discrète aléatoire (qui compte typiquement \sqrt{N^d} points périodiques) et s’oppose à celui observé en régularité C^0:

Théorème (Guihéneuf 2012). Il existe un ensemble G_\delta dense d’homéomorphismes conservatifs f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d tels que:

  1. Tout point de l’intervalle est accumulé par la suite \#\{x\in X_N:\exists k>0 f_N^k(x)=x\}/\# X_N, N\to\infty;
  2. Toute mesure de probabilité borélienne f-invariante est point d’accumulation d’une suite de mesures \mu_N\mu_N est f_N-invariante.

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La fonction de Moebius \mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\} peut se voir comme un point \mu du décalage (\{-1,0,1\}^{\mathbb N},\sigma). On s’intéresse aux points d’accumulation de l’orbite (et donc au sous-décalage X_M:=\overline{\{\sigma^n(\mu):n\geq0\}}) et des mesures empiriques m^\mu_n:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \delta_{\sigma^k(\mu)}. La conjecture de Chowla (1965) est équivalente à la convergence des mesures empiriques vers une mesure pour laquelle les signes des éléments non-nuls sont indépendants.

Thierry de la Rue a exposé au groupe de travail ergodique et dynamique une partie de ses travaux (en collaboration avec El Abdalaoui et Lemanczyk). Il s’agit d’une généralisation du problème où l’interdiction des facteurs carrés p_1^2,p_2^2,\dots est remplacée par celle d’une suite a_1^2,a_2^2,\dots d’entiers deux-à-deux premiers entre eux avec \sum_{k\geq1} a_k^{-2}<\infty.

Une première étape caractérise le sous-décalage et la mesure empirique pour la fonction \eta définie sur \mathbb N^* par \eta(n)=1 ssi aucun a_k^2 ne divise n. Le décalage engendré est décrit par une condition d’admissibilité simple (hérédité; on peut en déduire son entropie topologique et sa mesure d’entropie maximale). La limite des m^\eta_n existe. C’est m^\eta l’image par une application explicite (mais non continue) de la mesure de Haar sur un groupe compact abélien naturel.

Sous la condition (*) \sum_{k\geq1} a_k^{-1}<\infty, la deuxième étape montre la convergence des mesures m^\mu_n vers l’image du produit m^\eta\otimes(\tfrac12,\tfrac12)^{\mathbb N} sur \{0,1\}^{\mathbb N}\times\{-1,1\}^{\mathbb N} par (x,s)\mapsto (x_ns_n).  La condition n’est pas satisfaite dans le cas classique… mais pas de beaucoup!Cette analyse fait intervenir la disjonction au sens de Furstenberg avec différentes classes de systèmes ergodiques d’entropie nulle.

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