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Archive for the ‘talks’ Category

At the conference Thermodynamic Formalism: Modern Techniques in Smooth Ergodic Theory, I gave a talk on the local uniqueness result we obtained with Sylvain Crovisier and Omri Sarig. The slides are here. The main theorem appeared in this preprint (section 1.6).

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Le 18 janvier, j’ai présenté au séminaire de dynamique de l’Institut Mathématique de Jussieu un nouvel aspect du travail accompli avec Sylvain CROVISIER et Omri SARIG. Nous obtenons l’unicité de l’état d’équilibre pour un potentiel régulier dès qu’on se restreint aux mesures ergodiques hyperboliques et à une classe homocline mesurée. Ceci s’applique aux difféomorphismes C^{1+} de variétés compactes avec un potentiel Hölder-continu ou bien géométrique.

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At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

 

Given some dynamics, say that X\equiv Y if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a C^\infty diffeomorphism of a closed surface, let \{H(O_i)\}_{i\in I} be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: \Omega(f) \equiv \bigcup_{i\in I} H(O_i) with H(O_i)\cap H(O_j)\equiv\emptyset and f:H(O_i)\to H(O_i) topologically transitive. More precisely, for each i\in I, there is a compact set A_i and an integer _i\geq1 such that f^{p_i}:A_i\to A_i is topologically mixing, H(O_i)=\bigcup_{j=0}^{p_i-1} f^j(A_i), A_i=f^{p_i}(A_i) and f^{-j}(A_i)\cap f^{-k}A_i\equiv\emptyset if 0\leq j<k<p_i.

If f|\Omega(f) is topologically transitive and h_{{\rm top}}(f)>0, then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, f|\Omega(f) is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

 

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period p_i). See these slides for details.

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A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

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At the conference Beyond Uniform Hyperbolicity 2017 in Provo, I presented my joint work with S. Crovisier and T. Fisher about the entropy of C^1-diffeomorphisms with no dominated splitting. I tried to stress the questions it raises (and the partial answers we have obtained) about topological entropy.

Here are the slides. The papers are here and here.

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Le 21 novembre dernier Thomas Fernique a défendu son habilitation à diriger des recherches au Laboratoire d’Information de Paris-Nord. Il étudie les pavages et tout particulièrement les pavages ordonnées et apériodiques, modélisant les célèbres quasi-cristaux découverts dans les années 1980. Ses travaux explorent les liens entre différentes classes naturelles de tels systèmes dynamiques multidimensionnels (ie, définis par une action de R^d, d\geq 1): pavages sofiques et substitutifs; pavages planaires vs. sofiques ou de type fini; pavages obtenus par recuit.

L’exposé était suivi d’un pot agrémenté d’un pavage de Penrose (pavage défini par un plan plongé dans R^5) en chocolats blancs et noirs, digne suite d’une autre réalisation à découvrir ici.

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Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.

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