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Posts Tagged ‘symbolic dynamics’

Le 18 janvier, j’ai présenté au séminaire de dynamique de l’Institut Mathématique de Jussieu un nouvel aspect du travail accompli avec Sylvain CROVISIER et Omri SARIG. Nous obtenons l’unicité de l’état d’équilibre pour un potentiel régulier dès qu’on se restreint aux mesures ergodiques hyperboliques et à une classe homocline mesurée. Ceci s’applique aux difféomorphismes C^{1+} de variétés compactes avec un potentiel Hölder-continu ou bien géométrique.

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With Sylvain CROVISIER and Omri SARIG, we show that C^\infty surface diffeomorphisms with positive topological entropy have at most finitely many ergodic measures of maximal entropy in general, and at most one in the topologically transitive case. This answers a question of Newhouse, who proved that such measures always exist.

To do this we generalize Smale’s spectral decomposition theorem to non-uniformly hyperbolic surface diffeomorphisms, we introduce homoclinic classes of measures, and we study their properties using codings by irreducible countable state Markov
shifts.

The preprint is on arxiv (you can also download the preprint here).

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En dimension 1, les entropies des sous-décalages de type fini ont une caractérisation algébrique (théorème de Lind 1974: ce sont les multiples rationnels des logarithmes des nombres de Perron). En dimension supérieure, les entropies sont caractérisées en termes de calculabilité (théorème de Hochman et Meyerovitch 2010: ce sont les nombres semicalculables par le haut).

Dans sa thèse, Silvère Gangloff a étudié les liens précis entre la vitesse d’assemblage f(n) du décalage (une forme quantitative de mélange topologique) et les propriétés de calculabilité de son entropie. Il a notamment établi un phénomène de seuil

Théorème (S. Gangloff).  Considérons les sous-décalages décidables ayant la propriété d’assemblage à une certaine vitesse f:\mathbb N\to \mathbb N. Si \sum_{n\geq1} f(n)/n^2  converge, alors les entropies sont calculables; sinon, toute valeur semicalculable par le haut est réalisée.

Dans la foulée de cette soutenance, son directeur, Mathieu Sablik, a organisé une journée sur l’entropie à laquelle j’ai participé.

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A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

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Le 21 novembre dernier Thomas Fernique a défendu son habilitation à diriger des recherches au Laboratoire d’Information de Paris-Nord. Il étudie les pavages et tout particulièrement les pavages ordonnées et apériodiques, modélisant les célèbres quasi-cristaux découverts dans les années 1980. Ses travaux explorent les liens entre différentes classes naturelles de tels systèmes dynamiques multidimensionnels (ie, définis par une action de R^d, d\geq 1): pavages sofiques et substitutifs; pavages planaires vs. sofiques ou de type fini; pavages obtenus par recuit.

L’exposé était suivi d’un pot agrémenté d’un pavage de Penrose (pavage défini par un plan plongé dans R^5) en chocolats blancs et noirs, digne suite d’une autre réalisation à découvrir ici.

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La fonction de Moebius \mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\} peut se voir comme un point \mu du décalage (\{-1,0,1\}^{\mathbb N},\sigma). On s’intéresse aux points d’accumulation de l’orbite (et donc au sous-décalage X_M:=\overline{\{\sigma^n(\mu):n\geq0\}}) et des mesures empiriques m^\mu_n:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \delta_{\sigma^k(\mu)}. La conjecture de Chowla (1965) est équivalente à la convergence des mesures empiriques vers une mesure pour laquelle les signes des éléments non-nuls sont indépendants.

Thierry de la Rue a exposé au groupe de travail ergodique et dynamique une partie de ses travaux (en collaboration avec El Abdalaoui et Lemanczyk). Il s’agit d’une généralisation du problème où l’interdiction des facteurs carrés p_1^2,p_2^2,\dots est remplacée par celle d’une suite a_1^2,a_2^2,\dots d’entiers deux-à-deux premiers entre eux avec \sum_{k\geq1} a_k^{-2}<\infty.

Une première étape caractérise le sous-décalage et la mesure empirique pour la fonction \eta définie sur \mathbb N^* par \eta(n)=1 ssi aucun a_k^2 ne divise n. Le décalage engendré est décrit par une condition d’admissibilité simple (hérédité; on peut en déduire son entropie topologique et sa mesure d’entropie maximale). La limite des m^\eta_n existe. C’est m^\eta l’image par une application explicite (mais non continue) de la mesure de Haar sur un groupe compact abélien naturel.

Sous la condition (*) \sum_{k\geq1} a_k^{-1}<\infty, la deuxième étape montre la convergence des mesures m^\mu_n vers l’image du produit m^\eta\otimes(\tfrac12,\tfrac12)^{\mathbb N} sur \{0,1\}^{\mathbb N}\times\{-1,1\}^{\mathbb N} par (x,s)\mapsto (x_ns_n).  La condition n’est pas satisfaite dans le cas classique… mais pas de beaucoup!Cette analyse fait intervenir la disjonction au sens de Furstenberg avec différentes classes de systèmes ergodiques d’entropie nulle.

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La prépublication est enfin sur arxiv!

Voici le lien.

En comparaison avec ma précédente prépublication sur le sujet (également sur arxiv), on parvient dans ce nouveau travail à analyser les mesures maximisant l’entropie relativement à une période. On développe aussi les lemmes boréliens nécessaires au traitement du cas non nécessairement mélangeant. On obtient ainsi un résultat modulo les mesures d’entropie nulle et non pas modulo ces “m.m.e. relatives”.

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