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Posts Tagged ‘abstract ergodic theory’

La fonction de Moebius \mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\} peut se voir comme un point \mu du décalage (\{-1,0,1\}^{\mathbb N},\sigma). On s’intéresse aux points d’accumulation de l’orbite (et donc au sous-décalage X_M:=\overline{\{\sigma^n(\mu):n\geq0\}}) et des mesures empiriques m^\mu_n:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \delta_{\sigma^k(\mu)}. La conjecture de Chowla (1965) est équivalente à la convergence des mesures empiriques vers une mesure pour laquelle les signes des éléments non-nuls sont indépendants.

Thierry de la Rue a exposé au groupe de travail ergodique et dynamique une partie de ses travaux (en collaboration avec El Abdalaoui et Lemanczyk). Il s’agit d’une généralisation du problème où l’interdiction des facteurs carrés p_1^2,p_2^2,\dots est remplacée par celle d’une suite a_1^2,a_2^2,\dots d’entiers deux-à-deux premiers entre eux avec \sum_{k\geq1} a_k^{-2}<\infty.

Une première étape caractérise le sous-décalage et la mesure empirique pour la fonction \eta définie sur \mathbb N^* par \eta(n)=1 ssi aucun a_k^2 ne divise n. Le décalage engendré est décrit par une condition d’admissibilité simple (hérédité; on peut en déduire son entropie topologique et sa mesure d’entropie maximale). La limite des m^\eta_n existe. C’est m^\eta l’image par une application explicite (mais non continue) de la mesure de Haar sur un groupe compact abélien naturel.

Sous la condition (*) \sum_{k\geq1} a_k^{-1}<\infty, la deuxième étape montre la convergence des mesures m^\mu_n vers l’image du produit m^\eta\otimes(\tfrac12,\tfrac12)^{\mathbb N} sur \{0,1\}^{\mathbb N}\times\{-1,1\}^{\mathbb N} par (x,s)\mapsto (x_ns_n).  La condition n’est pas satisfaite dans le cas classique… mais pas de beaucoup!Cette analyse fait intervenir la disjonction au sens de Furstenberg avec différentes classes de systèmes ergodiques d’entropie nulle.

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0. Problème du générateur

L’existence d’une partition génératrice finie ou dénombrable est équivalente à la possibilité de plonger un système dans un décalage sur un alphabet fini ou dénombrable, ie, \mathbb N^{\mathbb Z} et donc conditionne la réductibilité de maints problèmes au cas symbolique. Cette problématique est également fortement liée à l’entropie.

Je répète ici la présentation de Benjamin WEISS, Countable generators in dynamics” (1989) qui a donné une version borélienne (ou si l’on veut mesurable) du théorème de Rokhlin.

1. Théorème de Rokhlin (1963)

Enoncé: Soit (X,\mathcal X,\mu,T) un système dynamique probabiliste inversible défini sur un espace de Rokhlin. Si ce système est ergodique, alors il existe une partition dénombrable \mathcal P dite génératrice unilatérale: \bigvee_{k\leq0} T^{-k}\mathcal P= \mathcal X modulo \mu.

Lemme. Pour toute partition finie \mathcal P et tout mesurable C de mesure non-nulle, il existe une partition dénombrable \mathcal Q de C, telle que \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\})\geq \mathcal P.

Preuve du lemme: On subdivise C selon le temps de premier retour, puis chaque morceau correspondant au temps de retour n selon \bigvee_{k=0}^{n-1} T^{-k}\mathcal P. La partition \mathcal Q ainsi obtenue est mesurable et dénombrable. Par ergodicité, l’orbite de presque tout point x visite C en un temps -n avec n\geq0 minimal. L’élément de \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\}) contenant x est donc contenu dans un élément de \mathcal P. Dans un espace de Rokhlin, ceci permet de conclure.

Preuve du théorème: On peut  supposer (\mu,T) apériodique, le théorème étant sinon trivial. Il existe donc une suite de mesurables disjoints C_0,C_1,C_2,\dots de mesures non-nulles. Dans un espace de Rokhlin, il existe une suite de partitions mesurables finies telles que \bigvee_{n\geq0} \mathcal P_n=\mathcal X modulo \mu. Le lemme fournit pour chaque entier n\geq0, une partition dénombrable \mathcal Q_n de C_n. On pose \mathcal Q:=\bigcup_{n\geq0} \mathcal Q_n\cup\{X\setminus\bigcup_{n\geq0}C_n\}. C’est bien une partition dénombrable vu la disjonction des C_n et \bigvee_{n\in\mathbb Z} T^{-n}\mathcal Q\geq\bigvee_{n\geq0} P_n=\mathcal X modulo \mu.

2. Version borélienne

Contexte: (X,\mathcal X,T) est un automorphisme d’un espace de Borel standard. On le muni de l’idéal errant \mathcal W. Un borélien est dit complètement positif si le complémentaire de son orbite positive \bigcup_{n\geq1} T^nB appartient à \mathcal W. Autrement dit, l’ensemble des points qui ne visite pas B une infinité de fois dans le passé et dans le futur appartient à \mathcal W.

Lemme: Si T est apériodique (sans points périodiques), alors il existe un borélien complètement positif satisfaisant A\cap TA=\emptyset.

Remarque: Si A est complètement positif, alors TA l’est aussi: X\setminus\bigcup_{n\geq1} T^n(TA)=(X\setminus\bigcup_{n\geq1}T^nA) \cup \{x\in A:\forall n\geq2 T^nx\notin A\}, l’union de deux éléments de \mathcal W (utilise le théorème de récurrence de Poincaré).

On itère ce lemme en posant A_0:=A et en considérant le système (A_n,\mathcal X\mid A_n,T_{A_n}), ce qui fournit A_{n+1},TA_{n+1}\subset A_n, donc disjoints de TA_n et de A_0,\dots,A_{n-1}.

Corollaire: il existe une suite de boréliens disjoints C_n,n\geq0, complètement positifs.

Un espace de Borel standard admet une suite de partitions finies dont l’union est génératrice. A partir de là, il suffit de reproduire la preuve du théorème de Rokhlin.

3. Commentaires

En général il n’existe pas de générateur fini – l’existence d’une mesure de probabilité invariante d’entropie infinie suffit à l’interdire. Dans le cadre mesuré, c’est la seule objection. Dans le cadre borélien,

Question (B. Weiss 1989): Un système dynamique borélien standard n’admettant pas de mesure finie invariante possède-t-il toujours un générateur à deux éléments?

 

 

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M. Bjorklund gave a talk in Orsay on the following problem in additive combinatorics:

Given A,B\subset\mathbb Z, show that A+B:=\{a+b:a\in A, b\in B\} is “large” unless they have a “special structure”.

The size of sets is defined here in terms of their upper Banach density: d^*(A)=\sup_{a,b} \limsup_{n\to\infty}|A\cap[a_n,b_n-1]|/(b_n-a_n+1) where a,b ranges over the integer sequences such that b_n-a_n\to\infty.

The special structure is the following form of quasi-periodicity: A\subset\mathbb Z is a Bohr set if there exists a morphism \sigma mapping \mathbb Z into some compact metric Abelian group K and an open subset U\subset K whose boundary has zero Haar measure \lambda(\partial U)=0 such that A=\sigma^{-1}(U).

His results (joint with A. Fish) are the following:

Theorem 1. If A is a Bohr set then d^*(A+B) \geq \min(1,d^*(A)+d^*(B)).

Theorem 2. If A is a Bohr set and d^*(A+B)=d^*(A)+d^*(B)<1 then B is also a Bohr set.

The results are deduced from the following ergodic theorems:

Theorem 3. In the above setting, d^*(S+\sigma^{-1}(U))\geq \inf_F \lambda(F+U) where F ranges over the measurable subsets Haar measure $\lambda(F)\geq d^*(S)$.

Theorem 4. Let (X,\mathcal B,\mu,T) be an ergodic probabilistic dynamical system. Let K and U\subset K be as above. Let A\in\mathcal A be such that 0<\mu(\bigcup_{k\in\sigma^{-1}(U)} T^{-k}A)=\mu(A)+\lambda(U)<1. Then:

  • A belongs to the Kronecker factor of T (it is measurable wrt the \sigma-algebra generated by the eigenfunctions of f\mapsto f\circ T);
  • K is the unit circle and U is an interval;
  • there is a factor map \pi:(X,\mu,T)\to(K,\lambda,S), with S a rotation, and A the preimage of an interval up to a negligible set.

More precisely Theorems 1 and 2 are deduced from their ergodic counterparts using a slight strenthening of Furstenberg’s Correspondence principle and results on subsets of metric compact Abelian groups, notably due to Kneser in the fifties).

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DEFINITION. A Bratteli diagram is a directed graph (V,E) with a distinguished vertex v_0 such that (i) any vertex v can be joined from v_0 by at least one path; (ii) such paths have all the same length called the level of v; (iii) there is a finite, non-zero number of arrows leaving each vertex.

Remark. Property (ii) is equivalent to the fact that there are parititions of the set of vertices V=\bigcup_{i\geq0} V_i and the set of arrows E=\bigcup_{i\geq0} E_i such that each arrow in $E_i$ goes from E_i to E_{i+1}.

DEFINITION. An order on a Bratelli diagram is the data, for each vertex v, of a total order on the set of all arrows pointing to v. A path is maximal, resp. minimal, if each of its arrows is maximal, resp. minimal, among the set of arrows with the same target. X_{max}, X_{min} will denote the set of maximal, minimal paths.

To each Bratelli diagram B is attached the set X_B of infinite path starting at v_0. As a subset of E_0\times E_1\times\dots, it is compact.

DEFINITION. A Vershik map (or adic transformation) for an ordered Bratelli diagram B is a homeomorphism \phi:X_B\to X_B with the following properties: (i) $latex \phi(X_{max})=X_{min}$; (iii) \phi(e_0,e_1,\dots) = (m_0,m_1,\dots,m_{k-1},e_k',e_{k+1},e_{k+2},\dots) where k is the smallest integer such that e_k is not maximal and e_k' is the arrow following e_k in the diagram order and m_0,m_1,\dots,m_{k-1} is the minimal path joining v_0 to the origin of e_k'.

Remark. Not all ordered Bratelli diagrams admit Vershik maps (K. Medynets). If the set $X_{max}$ has empty interior, then there is at most one Vershik map.

The recent preprint of S. Bezugly, J. Kwiatkowski, K. Medynets and B. Solomyak describe the invariant measures under a Borel version of the Vershik map

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