La simulation numérique est un outil central dans l’étude pratique des systèmes dynamiques. On la modélise de la façon suivante. Soit une application continue sur un espace métrique compact. Une discrétisation de pas est la donnée d’une application d’une partie finie -dense avec pour tout . Si , la discrétisation uniforme d’ordre est définie par et est une application mesurable telle que pour tout .
Problématique: les propriétés dynamiques de peuvent-elle se lire sur ses discrétisations et comment?
Ce sujet ne se laisse pas attaquer directement par les techniques habituelles de la théorie des systèmes dynamiques et la plupart des questions naturelles restent ouvertes malgré quelques résultats et expériences intriguantes (voici une introduction partielle et informelle à la littérature “historique”).
Pierre-Antoine Guihéneuf a donné un séminaire à Orsay sur le cas des dynamiques génériques préservant le volume. Il a annoncé:
Théorème (Guihéneuf 2015). Il existe un ensemble dense de difféomorphismes conservatifs de classe tels que la proportion de points périodiques pour tend vers 0 quand .
La preuve est délicate, y compris dans le cas “jouet” d’une suite d’applications linéaires. Ce résultat suggère que le comportement des discrétisations peut se comparer à celui d’une application discrète aléatoire (qui compte typiquement points périodiques) et s’oppose à celui observé en régularité :
Théorème (Guihéneuf 2012). Il existe un ensemble dense d’homéomorphismes conservatifs tels que:
- Tout point de l’intervalle est accumulé par la suite , ;
- Toute mesure de probabilité borélienne -invariante est point d’accumulation d’une suite de mesures où est -invariante.