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Archive for the ‘nice facts’ Category

On sait qu’une mesure de probabilité \mu invariante et ergodique par un flot (f^t)_{t\in\mathbb R} peut admettre une  décomposition ergodique \mu=\int \mu_x\, d\mu non triviale par rapport à f:=f^1. On a cependant:

presque toutes les composantes ergodiques \mu_x sont les images les unes des autres par le flot .

Voici une (esquisse de) preuve (inspirée par le lemme 2.15 du preprint suivant). Il doit s’agir d’un fait classique – je suis demandeur d’une référence, merci de me la signaler par email ou en commentaire.

La mesure \mu étant invariante par le flot,

\mu = \int_0^1 f^t_*\mu\, dt = \int_0^1 f^t_*\left(\int \mu_x\, d\mu\right) \, dt= \int \left(\int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt\right)\, d\mu

Or presque toute mesure \int_0^1 f^s_*\mu_x\, dt est invariante par le flot donc égale à la mesure initiale \mu, celle-ci étant ergodique. Par conséquent, pour tout x\in Y, une partie de mesure 1,  on a:

(1) \mu = \int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt

Notons que chaque f^t_*\mu_x est ergodique (pour f), cette propriété étant invariante par conjugaison. L’égalité (1) est donc une décomposition ergodique. Par unicité de celle-ci:pour tous x,y\in Y, \mu_y=f^t_*\mu_x pour un t\in[0,1]. CQFD.

En particulier, presque toutes les composantes ergodiques ont la même entropie, égale à celle de la mesure initiale \mu.

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Soit un système dynamique probabiliste (X,T,m) et deux espaces de Banach de fonctions à valeurs complexes sur X: \mathcal A,\mathcal B. Supposons que pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et tout n\geq 0, c_n(f,g):=\int_X f\circ T^n\cdot \overline{g}\, dm-\int_X f\, dm\int_X \overline{g}\, dm est bien défini et qu’il y a décroissance exponentielle des corrélations: il existe 0<\kappa<1 tel que, pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B,

(1) \forall n\geq0\quad |c_n(f,g)|\leq  C(f,g)\cdot\kappa^n avec  C(f,g)<\infty.

(énoncé souvent obtenu, voir par exemple le théorème 3 de cet article de Lai-Sang Young). Chazottes, Collet et Schmitt dans cet article ont remarqué que des hypothèses très faibles qu’ici on simplifira en:

(2) Pour tout n\geq0\sup_{\|f\|,\|g\|\leq1} |c_n(f,g)|<\infty

permettent de remplacer la majoration C(f,g) par un simple produit  C\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Ceci découle presqu’immédiatement de la formulation suivante du théorème de Banach-Steinhaus qu’on applique à la famille d’opérateurs bilinéaires et continus b_i(f,g):=\kappa^{-n}c_i(f,g) avec I=\mathbb N et \mathcal C:=\mathbb C.

Proposition. Soit \mathcal A,\mathcal B des espaces de Banach et \mathcal C un espace vectoriel normé. Soit b_i:\mathcal A\times\mathcal B\to\mathcal C, i\in I, une famille d’opérateurs bilinéaires et continus. Supposons:

(3) \forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; C(f,g):=\sup_{i\in I} \|b_i(f,g)\|<\infty

Alors il existe une constante K<\infty telle que

(4) \forall i\in I\;\forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; \|b_i(f,g)\| \leq K\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Cette formulation se montre en appliquant deux fois le théorème de Banach-Steinhaus standard (pour les opérateurs linéaires).

Preuve. Pour uniformiser la dépendance en  g, introduisons les opérateurs linéaires b_i^f:\mathcal B\to\mathcal C, b_i^f(g):=b_i(f,g). Ils sont continus avec  \|b_i^f\|\leq \|b_i\|\cdot\|f\|, et, pour tout g\in\mathcal B, \sup_{i\in I} \|b_i^f(g)\|\leq C(f,g)<\infty. Une première application de Banach-Steinhaus (à f fixé) donne K(f):=\sup_{i\in I} \|b_i^f\|<\infty.

Introduisons maintenant les opérateurs linéaires B_i:\mathcal A\to L(\mathcal B,\mathcal C) définis par B_i(f):=b_i^f. Ils sont continus avec \|B_i\|= \|b_i\| et, pour tout f\in\mathcal A, \sup_{i\in I} \|B_i(f)\|\leq K(f)<\infty. Une deuxième application de Banach-Steinhaus donne K:=\sup_{i\in I}\|B_i\|<\infty.

Finalement, on a obtenu: pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et i\in I\|b_i(f,g)\|=\|B_i(f)(g)\|\leq K\|f\|\cdot\|g\|. CQFD.

 

 

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toral automorphism f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d is a map x\mapsto Ax\mod\mathbb Z^d where A\in GL(d,\mathbb Z). f is hyperbolic if A has no eigenvalue on the unit circle. f has unstable index 1 if A has a single eigenvalue \lambda with modulus greater than one and if this eigenvalue has no algebraic multiplicity.

Observe that \lambda must be a Pisot number: it is an algebraic integer whose algebraic conjugates (ie, the other roots of P_\lambda, the smallest degree non-zero integer, monic polynomial such that  P_\lambda(\lambda)=0) must lie inside the open unit disk.

Note that the characteristic polynomial of A must satisfy: \chi_A=P_\lambda\cdot Q with Q another integer monic polynomial with constant coefficient 1. Hence if Q is not a constant, then it would have a root of modulus at least 1, a contradiction. Hence, \chi_A=P_\lambda.

It is sometimes useful to know that one can ensure that all the eigenvalues of A are simple and have pairwise distinct moduli. By an observation of C. Smyth (Advanced Problem 5931, Amer. Math. Monthly 82 (1975), p.86) this occurs whenever all the roots of P_\lambda are real. The latter can be ensured by a theorem of Pisot (see Theorem 5.2 of this book).

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