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Archive for the ‘nice facts’ Category

Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

  1. existence de plusieurs états d’équilibre;
  2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
  3. corrélations à longue portée;
  4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact X et une fonction réelle, continue et convexe P:C(X)\to\mathbb R (la pression) sur l’ensemble C(X) des fonctions réelles continues. Soit M(X) l’ensemble des probabilités boréliennes sur X muni de la topologie * faible. L’entropie E:M\to\mathbb R est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure m\in M, il y a équivalence entre:

  1. m maximise E(m)+m(f) (on dit que c’est un état d’équilibre pour f);
  2. m est une sous-différentielle de P en f: P(f+g)\leq P(f)+m(g) pour tout g\in C(x).

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en f si et seulement la mesure d’équilibre pour f est unique. On en déduit qu’une fonction f\in C(X) générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact X dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes h:M\to\mathbb R est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: P(f):=\sup\{h(m)+m(f):m\in M\}. On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. h(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

(2) P(f)=\sup\{E(\mu)+\mu(f):\mu\in M\};

Ici (1) est la définition de E. (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) P(f)\geq E(\mu)+\mu(f), conséquence triviale de (1).

Si m est un état d’équilibre pour f, l’inégalité (2′) donne, pour tout g\in C(x),

P(f+g) \geq E(m)+m(f+g) \leq P(f)+m(g),

donc m est une sous-différentielle. Réciproquement, si m\in M est une sous-différentielle, alors, pour tout g\in C(X),

P(f) \leq P(f+g) - m(g) = P(f+g)-m(f+g)+m(f)

donc, vu (1),

P(f) \leq \inf\{P(k)-m(k):k\in C(X)\} + m(f) = E(m)+m(f).

On voit que m est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

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On sait qu’une mesure de probabilité \mu invariante et ergodique par un flot (f^t)_{t\in\mathbb R} peut admettre une  décomposition ergodique \mu=\int \mu_x\, d\mu non triviale par rapport à f:=f^1. On a cependant:

presque toutes les composantes ergodiques \mu_x sont les images les unes des autres par le flot .

Voici une (esquisse de) preuve (inspirée par le lemme 2.15 du preprint suivant). Il doit s’agir d’un fait classique – je suis demandeur d’une référence, merci de me la signaler par email ou en commentaire.

La mesure \mu étant invariante par le flot,

\mu = \int_0^1 f^t_*\mu\, dt = \int_0^1 f^t_*\left(\int \mu_x\, d\mu\right) \, dt= \int \left(\int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt\right)\, d\mu

Or presque toute mesure \int_0^1 f^s_*\mu_x\, dt est invariante par le flot donc égale à la mesure initiale \mu, celle-ci étant ergodique. Par conséquent, pour tout x\in Y, une partie de mesure 1,  on a:

(1) \mu = \int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt

Notons que chaque f^t_*\mu_x est ergodique (pour f), cette propriété étant invariante par conjugaison. L’égalité (1) est donc une décomposition ergodique. Par unicité de celle-ci:pour tous x,y\in Y, \mu_y=f^t_*\mu_x pour un t\in[0,1]. CQFD.

En particulier, presque toutes les composantes ergodiques ont la même entropie, égale à celle de la mesure initiale \mu.

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Soit un système dynamique probabiliste (X,T,m) et deux espaces de Banach de fonctions à valeurs complexes sur X: \mathcal A,\mathcal B. Supposons que pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et tout n\geq 0, c_n(f,g):=\int_X f\circ T^n\cdot \overline{g}\, dm-\int_X f\, dm\int_X \overline{g}\, dm est bien défini et qu’il y a décroissance exponentielle des corrélations: il existe 0<\kappa<1 tel que, pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B,

(1) \forall n\geq0\quad |c_n(f,g)|\leq  C(f,g)\cdot\kappa^n avec  C(f,g)<\infty.

(énoncé souvent obtenu, voir par exemple le théorème 3 de cet article de Lai-Sang Young). Chazottes, Collet et Schmitt dans cet article ont remarqué que des hypothèses très faibles qu’ici on simplifira en:

(2) Pour tout n\geq0\sup_{\|f\|,\|g\|\leq1} |c_n(f,g)|<\infty

permettent de remplacer la majoration C(f,g) par un simple produit  C\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Ceci découle presqu’immédiatement de la formulation suivante du théorème de Banach-Steinhaus qu’on applique à la famille d’opérateurs bilinéaires et continus b_i(f,g):=\kappa^{-n}c_i(f,g) avec I=\mathbb N et \mathcal C:=\mathbb C.

Proposition. Soit \mathcal A,\mathcal B des espaces de Banach et \mathcal C un espace vectoriel normé. Soit b_i:\mathcal A\times\mathcal B\to\mathcal C, i\in I, une famille d’opérateurs bilinéaires et continus. Supposons:

(3) \forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; C(f,g):=\sup_{i\in I} \|b_i(f,g)\|<\infty

Alors il existe une constante K<\infty telle que

(4) \forall i\in I\;\forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; \|b_i(f,g)\| \leq K\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Cette formulation se montre en appliquant deux fois le théorème de Banach-Steinhaus standard (pour les opérateurs linéaires).

Preuve. Pour uniformiser la dépendance en  g, introduisons les opérateurs linéaires b_i^f:\mathcal B\to\mathcal C, b_i^f(g):=b_i(f,g). Ils sont continus avec  \|b_i^f\|\leq \|b_i\|\cdot\|f\|, et, pour tout g\in\mathcal B, \sup_{i\in I} \|b_i^f(g)\|\leq C(f,g)<\infty. Une première application de Banach-Steinhaus (à f fixé) donne K(f):=\sup_{i\in I} \|b_i^f\|<\infty.

Introduisons maintenant les opérateurs linéaires B_i:\mathcal A\to L(\mathcal B,\mathcal C) définis par B_i(f):=b_i^f. Ils sont continus avec \|B_i\|= \|b_i\| et, pour tout f\in\mathcal A, \sup_{i\in I} \|B_i(f)\|\leq K(f)<\infty. Une deuxième application de Banach-Steinhaus donne K:=\sup_{i\in I}\|B_i\|<\infty.

Finalement, on a obtenu: pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et i\in I\|b_i(f,g)\|=\|B_i(f)(g)\|\leq K\|f\|\cdot\|g\|. CQFD.

 

 

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toral automorphism f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d is a map x\mapsto Ax\mod\mathbb Z^d where A\in GL(d,\mathbb Z). f is hyperbolic if A has no eigenvalue on the unit circle. f has unstable index 1 if A has a single eigenvalue \lambda with modulus greater than one and if this eigenvalue has no algebraic multiplicity.

Observe that \lambda must be a Pisot number: it is an algebraic integer whose algebraic conjugates (ie, the other roots of P_\lambda, the smallest degree non-zero integer, monic polynomial such that  P_\lambda(\lambda)=0) must lie inside the open unit disk.

Note that the characteristic polynomial of A must satisfy: \chi_A=P_\lambda\cdot Q with Q another integer monic polynomial with constant coefficient 1. Hence if Q is not a constant, then it would have a root of modulus at least 1, a contradiction. Hence, \chi_A=P_\lambda.

It is sometimes useful to know that one can ensure that all the eigenvalues of A are simple and have pairwise distinct moduli. By an observation of C. Smyth (Advanced Problem 5931, Amer. Math. Monthly 82 (1975), p.86) this occurs whenever all the roots of P_\lambda are real. The latter can be ensured by a theorem of Pisot (see Theorem 5.2 of this book).

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