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Archive for the ‘Dynamics’ Category

With Sylvain Crovisier and Todd Fisher, we have just finished the paper Local perturbations of conservative C1-diffeomorphisms. It is now available on arxiv.

While studying the entropy of diffeomorphisms in this paper, we needed a number of lemmas for perturbing the dynamics of periodic orbits  with support contained in a small neighborhood and preserving given homoclinic relations. Such results were known in the dissipative setting (though some are quite recent, see Nicolas Gourmelon‘s work).  However,  the conservative (i.e., volume-preserving or symplectic) versions were often weaker or even lacking. The new preprint fills this gap.

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Rufus Bowen, mort en 1975 à l’âge de 31 ans, a laissé un carnet contenant 157 problèmes mathématiques. A l’occasion de la conférence “Rufus Bowen”, Brian Marcus a organisé sa publication commentée sur un site web permettant à chacun de le feuilleter et surtout de contribuer.

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Le 21 novembre dernier Thomas Fernique a défendu son habilitation à diriger des recherches au Laboratoire d’Information de Paris-Nord. Il étudie les pavages et tout particulièrement les pavages ordonnées et apériodiques, modélisant les célèbres quasi-cristaux découverts dans les années 1980. Ses travaux explorent les liens entre différentes classes naturelles de tels systèmes dynamiques multidimensionnels (ie, définis par une action de R^d, d\geq 1): pavages sofiques et substitutifs; pavages planaires vs. sofiques ou de type fini; pavages obtenus par recuit.

L’exposé était suivi d’un pot agrémenté d’un pavage de Penrose (pavage défini par un plan plongé dans R^5) en chocolats blancs et noirs, digne suite d’une autre réalisation à découvrir ici.

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Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.

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On sait que les homéomorphismes du tore isotopes à un Anosov linéaire admettent celui-ci comme facteur. Andres Koropecki a expliqué le travail en cours suivant:

Théorème (de Carvalho, Koropecki, Tal). Soit un homéomorphisme f du tore bidimensionnel isotope à l’identité et dont l’ensemble de rotation est d’intérieur non-vide. Supposons f  de classe C1+. Alors il existe un facteur topologique F vérifiant:

  • F est encore un homéo du tore isotope à l’identité
  • l’ensemble de rotation est inchangé
  • F est topologiquement mélangeant
  • l’union de ses fers à cheval topologiques est dense
  • les fibres de la semiconjugaison sont des intersections décroissantes de disques

Les propriétés supplémentaires de F par rapport à f ne restreignent donc pas l’ensemble de rotation.

La semiconjugaison est obtenue en quotientant par les compacts connexes homologiquement inessentiels et dont le diamètre du relevé reste borné sous la dynamique.

Remarques. Le théorème d’Oxtoby-Ulam permet de choisir F conservatif. L’hypothèse de régularité est peut-être purement technique.

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On sait qu’une mesure de probabilité \mu invariante et ergodique par un flot (f^t)_{t\in\mathbb R} peut admettre une  décomposition ergodique \mu=\int \mu_x\, d\mu non triviale par rapport à f:=f^1. On a cependant:

presque toutes les composantes ergodiques \mu_x sont les images les unes des autres par le flot .

Voici une (esquisse de) preuve (inspirée par le lemme 2.15 du preprint suivant). Il doit s’agir d’un fait classique – je suis demandeur d’une référence, merci de me la signaler par email ou en commentaire.

La mesure \mu étant invariante par le flot,

\mu = \int_0^1 f^t_*\mu\, dt = \int_0^1 f^t_*\left(\int \mu_x\, d\mu\right) \, dt= \int \left(\int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt\right)\, d\mu

Or presque toute mesure \int_0^1 f^s_*\mu_x\, dt est invariante par le flot donc égale à la mesure initiale \mu, celle-ci étant ergodique. Par conséquent, pour tout x\in Y, une partie de mesure 1,  on a:

(1) \mu = \int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt

Notons que chaque f^t_*\mu_x est ergodique (pour f), cette propriété étant invariante par conjugaison. L’égalité (1) est donc une décomposition ergodique. Par unicité de celle-ci:pour tous x,y\in Y, \mu_y=f^t_*\mu_x pour un t\in[0,1]. CQFD.

En particulier, presque toutes les composantes ergodiques ont la même entropie, égale à celle de la mesure initiale \mu.

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Soit un système dynamique probabiliste (X,T,m) et deux espaces de Banach de fonctions à valeurs complexes sur X: \mathcal A,\mathcal B. Supposons que pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et tout n\geq 0, c_n(f,g):=\int_X f\circ T^n\cdot \overline{g}\, dm-\int_X f\, dm\int_X \overline{g}\, dm est bien défini et qu’il y a décroissance exponentielle des corrélations: il existe 0<\kappa<1 tel que, pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B,

(1) \forall n\geq0\quad |c_n(f,g)|\leq  C(f,g)\cdot\kappa^n avec  C(f,g)<\infty.

(énoncé souvent obtenu, voir par exemple le théorème 3 de cet article de Lai-Sang Young). Chazottes, Collet et Schmitt dans cet article ont remarqué que des hypothèses très faibles qu’ici on simplifira en:

(2) Pour tout n\geq0\sup_{\|f\|,\|g\|\leq1} |c_n(f,g)|<\infty

permettent de remplacer la majoration C(f,g) par un simple produit  C\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Ceci découle presqu’immédiatement de la formulation suivante du théorème de Banach-Steinhaus qu’on applique à la famille d’opérateurs bilinéaires et continus b_i(f,g):=\kappa^{-n}c_i(f,g) avec I=\mathbb N et \mathcal C:=\mathbb C.

Proposition. Soit \mathcal A,\mathcal B des espaces de Banach et \mathcal C un espace vectoriel normé. Soit b_i:\mathcal A\times\mathcal B\to\mathcal C, i\in I, une famille d’opérateurs bilinéaires et continus. Supposons:

(3) \forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; C(f,g):=\sup_{i\in I} \|b_i(f,g)\|<\infty

Alors il existe une constante K<\infty telle que

(4) \forall i\in I\;\forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; \|b_i(f,g)\| \leq K\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Cette formulation se montre en appliquant deux fois le théorème de Banach-Steinhaus standard (pour les opérateurs linéaires).

Preuve. Pour uniformiser la dépendance en  g, introduisons les opérateurs linéaires b_i^f:\mathcal B\to\mathcal C, b_i^f(g):=b_i(f,g). Ils sont continus avec  \|b_i^f\|\leq \|b_i\|\cdot\|f\|, et, pour tout g\in\mathcal B, \sup_{i\in I} \|b_i^f(g)\|\leq C(f,g)<\infty. Une première application de Banach-Steinhaus (à f fixé) donne K(f):=\sup_{i\in I} \|b_i^f\|<\infty.

Introduisons maintenant les opérateurs linéaires B_i:\mathcal A\to L(\mathcal B,\mathcal C) définis par B_i(f):=b_i^f. Ils sont continus avec \|B_i\|= \|b_i\| et, pour tout f\in\mathcal A, \sup_{i\in I} \|B_i(f)\|\leq K(f)<\infty. Une deuxième application de Banach-Steinhaus donne K:=\sup_{i\in I}\|B_i\|<\infty.

Finalement, on a obtenu: pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et i\in I\|b_i(f,g)\|=\|B_i(f)(g)\|\leq K\|f\|\cdot\|g\|. CQFD.

 

 

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