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## The Spectral Decomposition for Smooth Surface Diffeomorphisms

At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

Given some dynamics, say that $X\equiv Y$ if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a $C^\infty$ diffeomorphism of a closed surface, let $\{H(O_i)\}_{i\in I}$ be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: $\Omega(f) \equiv \bigcup_{i\in I} H(O_i)$ with $H(O_i)\cap H(O_j)\equiv\emptyset$ and $f:H(O_i)\to H(O_i)$ topologically transitive. More precisely, for each $i\in I$, there is a compact set $A_i$ and an integer $_i\geq1$ such that $f^{p_i}:A_i\to A_i$ is topologically mixing, $H(O_i)=\bigcup_{j=0}^{p_i-1} f^j(A_i)$, $A_i=f^{p_i}(A_i)$ and $f^{-j}(A_i)\cap f^{-k}A_i\equiv\emptyset$ if $0\leq j.

If $f|\Omega(f)$ is topologically transitive and $h_{{\rm top}}(f)>0$, then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, $f|\Omega(f)$ is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period $p_i$). See these slides for details.

## “Facteurs de Bowen” à Quimper

A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

## “Master class” d’analyse, 15-19 janvier 2018

L’IRMA (Strasbourg) organise du 15 au 19 janvier 2018 une “Master class” pour présenter certaines thématiques en Analyse, autour des équations aux dérivées partielles, de la théorie du contrôle et de la physique mathématique. Elle s’adresse aux étudiants de M1, et peut intéresser également les étudiants de M2 ou prépa-agreg, ainsi que les doctorants.

Organisateurs : Nalini Ananthamaran et Raphaël Côte (IRMA Strasbourg)

Orateurs :
Jean-Michel Coron (Université Pierre et Marie Curie)
David Dos Santos Ferreira (Université de Nancy)
Isabelle Gallagher (École normale supérieure)
Geneviève Raugel (Université Paris Sud)

Des informations supplémentaires concernant notamment le programme, les possibilités de financements, et l’inscription, gratuite mais obligatoire, sont disponibles à cette adresse.

## Pression topologique, différentiabilité et états d’équilibre

Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

1. existence de plusieurs états d’équilibre;
2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
3. corrélations à longue portée;
4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact $X$ et une fonction réelle, continue et convexe $P:C(X)\to\mathbb R$ (la pression) sur l’ensemble $C(X)$ des fonctions réelles continues. Soit $M(X)$ l’ensemble des probabilités boréliennes sur $X$ muni de la topologie * faible. L’entropie $E:M\to\mathbb R$ est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

$E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}$.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure $m\in M$, il y a équivalence entre:

1. $m$ maximise $E(m)+m(f)$ (on dit que c’est un état d’équilibre pour $f$);
2. $m$ est une sous-différentielle de $P$ en $f$: $P(f+g)\leq P(f)+m(g)$ pour tout $g\in C(x)$.

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en $f$ si et seulement la mesure d’équilibre pour $f$ est unique. On en déduit qu’une fonction $f\in C(X)$ générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact $X$ dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes $h:M\to\mathbb R$ est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: $P(f):=\sup\{h(m)+m(f):m\in M\}$. On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. $h(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}$.

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) $E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}$.

(2) $P(f)=\sup\{E(\mu)+\mu(f):\mu\in M\}$;

Ici (1) est la définition de $E$. (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) $P(f)\geq E(\mu)+\mu(f)$, conséquence triviale de (1).

Si $m$ est un état d’équilibre pour $f$, l’inégalité (2′) donne, pour tout $g\in C(x)$,

$P(f+g) \geq E(m)+m(f+g) \leq P(f)+m(g)$,

donc $m$ est une sous-différentielle. Réciproquement, si $m\in M$ est une sous-différentielle, alors, pour tout $g\in C(X)$,

$P(f) \leq P(f+g) - m(g) = P(f+g)-m(f+g)+m(f)$

donc, vu (1),

$P(f) \leq \inf\{P(k)-m(k):k\in C(X)\} + m(f) = E(m)+m(f)$.

On voit que $m$ est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

## Entropy for C^1-diffeos without domination

At the conference Beyond Uniform Hyperbolicity 2017 in Provo, I presented my joint work with S. Crovisier and T. Fisher about the entropy of C^1-diffeomorphisms with no dominated splitting. I tried to stress the questions it raises (and the partial answers we have obtained) about topological entropy.

Here are the slides. The papers are here and here.

## Local perturbations for conservative diffeos

With Sylvain Crovisier and Todd Fisher, we have just finished the paper Local perturbations of conservative C1-diffeomorphisms. It is now available on arxiv.

While studying the entropy of diffeomorphisms in this paper, we needed a number of lemmas for perturbing the dynamics of periodic orbits  with support contained in a small neighborhood and preserving given homoclinic relations. Such results were known in the dissipative setting (though some are quite recent, see Nicolas Gourmelon‘s work).  However,  the conservative (i.e., volume-preserving or symplectic) versions were often weaker or even lacking. The new preprint fills this gap.