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Non-convergence des mesures de Gibbs pour T->0

Posted in Dynamics, news, papers, tagged , , , on June 17, 2009| Leave a Comment »

Soit T:X\to X un système dynamique hyperbolique topologiquement transitif muni d’un potentiel continu \phi:X\to\mathbb R. La mesure de Gibbs à température 1/\beta est par définition l’unique mesure de probabilité T-invariante \mu_\beta maximisant l’énergie libre (appelée pression en dynamique…): h(T,\mu)+\beta\int \phi\, d\mu où h(T,\mu) est l’entropie mesurée.

Il est facile de voir que tout point d’accumulation de \mu_\beta pour \beta\to\infty maximise \int \phi\, d\mu. Pour certains systèmes, il existe plusieurs mesures maximisantes. Toutefois, Julien BREMONT a montré en 2001 que les \mu_\beta convergent si T est un sous-décalage de type fini et \phi est localement constant. Depuis, plusieurs chercheurs ont cherché à généraliser ceci au cadre habituel, à savoir \phi hölderienne.

Dans un récent préprint, Jean-René Chazottes et Mike HOCHMAN ont construit un potentiel lipschitzien pour lequel cette convergence n’a pas lieu. Ils montrent de plus que pour les sous-décalages de type fini multi-dimensionnels, cette convergence peut même tomber en défaut pour des potentiels localement constants!

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