Measures of maximal entropy for surface diffeomorphisms

With Sylvain CROVISIER and Omri SARIG, we show that surface diffeomorphisms with positive topological entropy have at most finitely many ergodic measures of maximal entropy in general, and at most one in the topologically transitive case. This answers a question of Newhouse, who proved that such measures always exist.

To do this we generalize Smale’s spectral decomposition theorem to non-uniformly hyperbolic surface diffeomorphisms, we introduce homoclinic classes of measures, and we study their properties using codings by irreducible countable state Markov
shifts.

The preprint is on arxiv (you can also download the preprint here).

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Le carnet de Rufus Bowen

Rufus Bowen, mort en 1975 à l’âge de 31 ans, a laissé un carnet contenant 157 problèmes mathématiques. A l’occasion de la conférence “Rufus Bowen”, Brian Marcus a organisé sa publication commentée sur un site web permettant à chacun de le feuilleter et surtout de contribuer.

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Décroissance exponentielle des corrélations pour le flot du billard de Sinaï

Un preprint de V. Baladi, M. Demers et C. Liverani établit la décroissance exponentielle des corrélations pour le flot défini par tout billard de Sinaï (1970) à horizon fini sur le tore de dimension 2 avec nombre fini d’obstacles strictement convexes et disjoints de classe C3. Ceci s’applique aux observables hölderiennes. Ceci est obtenu comme corollaire d’une analyse spectrale très fine. La preuve utilise les propriétés spécifiques de ces billards, notamment l’accumulation sous-exponentielle des singularités (qui intervient déjà pour les applications dilatantes par morceaux, voir par exemple mes articles ici et là) et une forme de transversalité entre ces singularités et les directions stables (utilisée déjà pour les applications hyperboliques par morceaux, par exemple par Baladi et Gouëzel). Pour mieux apprécier le résultat de Baladi, Demers et Liverani, rappelons que la décroissance exponentielle des corrrélations a été résolue par L-S Young il y a une quinzaine d’années pour l‘application décrivant l’évolution d’une collision à la suivante. On connait toutefois la difficulté à analyser les propriétés de mélange des flots,  y compris dans le cas Anosov (voir les travaux de Dolgopyat et de Liverani, notamment).

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Structures presque boréliennes des difféomorphismes de surfaces, des chaînes de Markov topologiques et de leurs facteurs

La prépublication est enfin sur arxiv!

Voici le lien.

En comparaison avec ma précédente prépublication sur le sujet (également sur arxiv), on parvient dans ce nouveau travail à analyser les mesures maximisant l’entropie relativement à une période. On développe aussi les lemmes boréliens nécessaires au traitement du cas non nécessairement mélangeant. On obtient ainsi un résultat modulo les mesures d’entropie nulle et non pas modulo ces “m.m.e. relatives”.

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