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Posts Tagged ‘continuity of the entropy’

Dans le cadre du groupe de travail sur les cocycles au-dessus des dynamiques hyperboliques, Jiagang YANG a présenté ce 3 février 2012 ses récents travaux exploitant les propriétés de continuité de l’entropie topologique ou mesurée en fonction de la mesure et/ou de la transformation, notamment pour l’étude de la dynamique générique et de faible régularité.

1. Entropie topologique

Notons \mathcal T(M) l’ensemble des difféomorphismes admettant une tangence homocline. Notons B_f(x,\epsilon,n):=\{y:\forall 0\leq k<n\; d(f^ky,f^kx)<\epsilon\} la boule dynamique. Notons h_{top}(f) l’entropie topologique de f.

Théorème (Liao, Viana, Yang). Tout difféomorphisme de {Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)} est robustement entropie-expansif: il existe \epsilon>0 et un voisinage \mathcal U\ni f tels que pour tous g\in\mathcal U, on a: h_{top}(g,B_g(x,\epsilon,\infty))=0.

Conséquences.

  1. f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}\mapsto h_{top}(f) est semi-continu supérieurement (scs).
  2. La conjecture de l’entropie de Shub est vérifiée pour tout f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}.

2. Entropie mesurée dans le cas conservatif

Théorème (Yang). L’ensemble des points de continuité de f\in{Diff}^1(M)\mapsto h_{vol}(f) est générique.

Corollaire. La formule de Pesin h_{vol}(f)=\int \sum_i \lambda_i(f,x)^+\, dvol s’étend au cas C^1.

Corollaire. L’ensemble des points de continuité de f\mapsto (x\mapsto \lambda_i(f,x)\in L^1(vol) est générique.

3. Anosov topologiquement transitifs

Si f_n\in{Diff}^2(M) $C^1$-convergent vers f\in{Diff}^2(M) alors les mesures SRB des f_n convergent vaguement vers celle de f.

Un difféomorphisme f\in{Diff}^1(M) générique, topologiquement transitif, possède exactement une mesure physique.

4. Transformation plutôt contractantes

M. Andersson a montré que la condition être “plutôt contractant” (mostly contracting) est ouverte dans la topologie C^2. Est-ce encore le cas pour la topologie C^1?

Proposition (Yang). L’ensemble des difféomorphismes de classe C^1 partiellement hyperboliques avec: dimension centrale égale à 1; plutôt contractants; d’exposant centre-instable strictement négatif forment un ouvert C^1.

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I have shown that, like diffeomorphisms, piecewise affine surface homeomorphisms are approximated in entropy by horseshoes, away from their singularities. It follows in particular that their topological entropy is lower-semicontinuous: a small perturbation cannot cause a macroscopic drop in entropy.

The continuity of the entropy for such maps had been an open problem for some time. Rigorous numerical estimates by Duncan SANDS and Yutaka ISHII seemed to suggest some discontinuous drops, but investigation at a small scale suggested these drops to be steep yet continuous variations.

Izzet B. YILDIZ has solved this question by finding for Lozi maps f_{a,b}(x,y)=(1-a|x|+by,x) on \mathbb R^2, small numbers \epsilon_1,\epsilon_2>0 such that, setting (a,b)=(1.4+\epsilon_1,0.4+\epsilon_1), for all 0<\epsilon<\epsilon_2:

  • h_{top}(f_{a,b})=0;
  • h_{top}(f_{a+\epsilon,b})>\frac14\log\frac12(\sqrt{5}+1).

The verification turns out to be quite simple (once you know where to look!). The non-wandering set of f_{a,b} is shown to be reduced to be reduced to the fixed points of its fourth iterates, yielding the zero entropy immediately. f_{a+\epsilon,b} on the other hand is shown to admit 2 disjoint closed quadrilaterals U,V such that f^4(U) hyperbolically crosses both U and V and f^4(V) hyperbolically crosses U. This means that the sides of U and V can be branded alternatively s and u with the following property. The image of a u side crosses each of U,V it meets, intersecting both their s sides and none of their u sides. This again yields the entropy estimate.

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