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Posts Tagged ‘operator algebra’

Pierre-Yves Le Gall a donné le troisième exposé de son introduction aux algèbres d’opérateurs à destination des dynamiciens dans le cadre du groupe de travail “Ergodique et Dynamique” d’Orsay. Cet exposé a été consacré à la classification de certaines relations d’équivalence par un théorème d’Elliot (1975) et son application par Giordano, Matsui, Putnam et Skau à la classification à orbite équivalence près des actions libres et minimales sur le Cantor de groupes abéliens discrets et finiment engendrés.

1. Théorème d’Elliot de classification des algèbres AF

Définition. Une C*-algèbre est dire “AF” (almost finite) s’il existe une suite de C*-algèbres de dimensions finies A_0\subset A_1\subset A_2\subset\dots telle que A = \overline{\bigcup_{n\to\infty}\uparrow A_n}.

On considère alors M_\infty(A):=\bigcup_{n\in\mathbb N} M_n(A)M_n(A)\hookrightarrow M_{n+1}(A) en complétant par des zéros, l’ensemble des projecteurs \mathcal P_\infty(A) de M_\infty(A). On obtient un semi-groupe abélien en considérant l’addition p\oplus q:= matrice diagonale par blocs p, q, et en quotientant par p\sim q\iff \exists v\in M_\infty(A)\; p=vv^* \& q=v^*v.

Définition. K_0(A) est le groupe engendré par le semi-groupe précédent.

Si A est une C*-algèbre AF, K_0(A) est de la limite inductive G d’une suite \mathbb Z^{n_k},\quad n_k\nearrow\infty. On lui associe l’ordre partiel canonique défini par G^+:=\lim_{\rightarrow} (\mathbb Z_+)^{n_k} et l’unité 0=(0,\dots,0). On dit que c’est un “groupe de dimension” (G,G^+,0).

Théorème (Elliot 1975). Deux C-* algèbres AF unifères sont isomorphes si et seulement si leurs groupes de dimension sont isomorphes. Tout triplet (G,G^+,u) est réalisable comme le groupe de dimension d’une certaine C*-algèbre AF.

On a donc une classification complète de ces algèbres. Les diagrammes de Brattelli permettent de construire combinatoirement les algèbres ayant tel groupe de dimension.

2. Isomorphismes des algèbres de systèmes de Cantor

Définition. Un système de Cantor est une action libre et topologiquement minimale d’un groupe discret, abélien et finiment engendré par homéomorphismes d’un Cantor.

Exercice. Montrer que la relation d’équivalence définie par un système de Cantor n’est jamais AF.

Théorème (Elliot 1990s). Pour tout système de Cantor (X,\alpha), le produit croisé (minimal ou maximal, ils sont isomorphes) C(X)\rtimes_\alpha \mathbb Z est une limite inductive d’algèbres de cercle, i.e., de la forme \bigoplus_{i=1}^p M_{n_i}(\mathbb C) \oplus \bigoplus_{j=1}^q M_{n_j}(C(\mathbb S^1)) .

Théorème (Elliot?). Pour deux systèmes de Cantor (X_i,\alpha_i),\quad i=1,2, les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. les relations induites sont isomorphes;
  2. les produits croisés correspondants sont isomorphes (en tant que C*-algèbres);
  3. les groupes de dimension (K_0(A_i),K_0(A_i)^+,[1]) sont isomorphes.

3. Equivalence orbitale

Définition. Une mesure (borélienne, de probabilité) \mu sur X est invariante par une relation étale \mathcal R si pour tout borélien E inclus dans un bon ouvert U\subset \mathcal R vérifiant r|U,\; s|U sont des homéomorphismes on a l’égalité: \mu(r(E))=\mu(s(E)). On note M(X,\mathcal R) l’ensemble de ces mesures invariantes.

Considérons les groupes additifs suivants:

  • C(X,\mathbb Z) l’ensemble des fonctions continues à valeurs entières sur $X$;
  • B(X,\mathcal R,\mathbb Z) engendré par les différences \{\chi_{r(U)}-\chi_{s(U)}: U bon ouvert compact $latex\}$ (correspond aux cobords);
  • B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) l’ensemble des fonctions continues à valeurs entières sur $X$ et d’intégrale nulle pour toute mesure invariante.

On a: B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z)\subset B(X,\mathcal R,\mathbb Z) \subset C(X,\mathbb Z).

Théorème. Si $\mathcal R$ est une relation AF ou associée à un système de Cantor alors (K_0(C^*(\mathcal R)),K_0(C^*(\mathcal R)),[1]) = \left(C(X,\mathbb Z)/B(X,\mathcal R,\mathbb Z),\left(C(X,\mathbb Z)/B(X,\mathcal R,\mathbb Z)\right)^+,[1]\right).

Proposition. Le groupe de dimension C(X,\mathbb Z)/B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) (avec son ordre et son unité) est un invariant d’équivalence orbitale.

Théorème. Deux relations AF minimales sont isomorphes ssi les groupes de dimension C(X,\mathbb Z)/B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) (avec leurs ordres et unités) sont isomorphes. Deux systèmes de Cantor sont orbites équivalents ssi les groupes de dimensions précédemment définis sont isomorphes.

Conséquences.

  1. Les ensembles des valeurs prises par ces invariants que ce soit pour les relations AF ou pour les systèmes de Cantor sont explicites
  2. Un système de Cantor défini par un groupe abélien, finiment engendré est orbites équivalent à une relation AF et donc au système défini par une action de \mathbb Z.

Quelques références:

  1. Notes de Jones et de la Harpe.
  2. Travaux de Kirchberg des années 1990.
  3. Plus récemment C. Delaroche et M. Hochman.

 

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Pierre-Yves LE GALL a donné son second exposé introductif dans le cadre du groupe de travail Ergodique et dynamique ce lundi 30 janvier (notes manuscrites ou avec audio).

Cet exposé était consacré à la construction de C* algèbres reflétant non seulement le groupe \Gamma mais une action de celui-ci sur un espace X. On obtient ainsi des produits croisés C_0(X)\rtimes\Gamma,\; C_0(X)\rtimes_r\Gamma. Deux approches complémentaires ont été développées.

Première approche: produit de convolution des fonctions sur \Gamma à valeurs dans C_0(X).

Deuxième approche: produit de convolution des fonctions continues à support compact sur les groupoïdes étales

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Dans le cadre du groupe de travail “Ergodique et dynamique“, Pierre-Yves LE GALL a accepté de faire une courte introduction aux algèbres d’opérateurs pour dynamiciens. En effet, ces techniques interviennent dans un certain nombres de questions dynamiques importantes, par exemple, l’équivalence orbitale entre actions de \mathbb Z^2 sur le Cantor (voir par exemple: T. Giordano, H. Matui, I. Putnam, C.F. Skau, Orbit equivalence for Cantor minimal Z^2-actions, J.A.M.S., 21(2008), 863-892, disponible sur cette page).

Exposé no.1 (notes, notes avec audio): C* algèbres de groupes discrets et complétions de \mathbb C[\Gamma]:=\{\sum_g a_g g\}:

  1. Rappels sur les algèbres de Banach (complexes et unifères): spectre, formule du rayon spectral, calcul fonctionnel, transformée de Gelfand \ell^1(\Gamma). Correspondances entre représentations unitaires de \Gamma et de \ell^1(\Gamma)
  2. Complétion \ell^1(\Gamma). Difficulté de caractérisation de l’image de la transformée
  3. Complétion C^*_{max}(\Gamma) selon \|\sum_g a_g g\|_{max}:=\sup_\pi \|\sum_g a_g\pi(g)\| (supremum sur les représentations unitaires)
  4. Défintions et propriétés fondamentales des C^*-algèbres: formule de la norme; morphismes d’algèbres involutives; réalisations comme sous-algèbres involutives et (fortement) fermées de \mathcal L(H);  calcul fonctionnel continu; bijectivité de la transformée de Gelfand. Exemple de la caractérisation de la connexité du spectre
  5. Complétion C^*_{min}(\Gamma) selon \|\sum_g a_g g\|_{max}:=\|\sum_g a_g\pi(g)\|\pi est la représentation régulière. Caractérisation de la moyennabiltié et de la propriété de \Gamma en fonction de C^*_{min}(\Gamma), C^*_{max}(\Gamma)
  6. Morphismes généralisés (ex. applications linéaires complètement positives)

A suivre…

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