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Archive for the ‘mathematical physics’ Category

Un preprint de V. Baladi, M. Demers et C. Liverani établit la décroissance exponentielle des corrélations pour le flot défini par tout billard de Sinaï (1970) à horizon fini sur le tore de dimension 2 avec nombre fini d’obstacles strictement convexes et disjoints de classe C3. Ceci s’applique aux observables hölderiennes. Ceci est obtenu comme corollaire d’une analyse spectrale très fine. La preuve utilise les propriétés spécifiques de ces billards, notamment l’accumulation sous-exponentielle des singularités (qui intervient déjà pour les applications dilatantes par morceaux, voir par exemple mes articles ici et ) et une forme de transversalité entre ces singularités et les directions stables (utilisée déjà pour les applications hyperboliques par morceaux, par exemple par Baladi et Gouëzel). Pour mieux apprécier le résultat de Baladi, Demers et Liverani, rappelons que la décroissance exponentielle des corrrélations a été résolue par L-S Young il y a une quinzaine d’années pour l‘application décrivant l’évolution d’une collision à la suivante. On connait toutefois la difficulté à analyser les propriétés de mélange des flots,  y compris dans le cas Anosov (voir les travaux de Dolgopyat et de Liverani, notamment).

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Pierre-Yves Le Gall a donné le troisième exposé de son introduction aux algèbres d’opérateurs à destination des dynamiciens dans le cadre du groupe de travail “Ergodique et Dynamique” d’Orsay. Cet exposé a été consacré à la classification de certaines relations d’équivalence par un théorème d’Elliot (1975) et son application par Giordano, Matsui, Putnam et Skau à la classification à orbite équivalence près des actions libres et minimales sur le Cantor de groupes abéliens discrets et finiment engendrés.

1. Théorème d’Elliot de classification des algèbres AF

Définition. Une C*-algèbre est dire “AF” (almost finite) s’il existe une suite de C*-algèbres de dimensions finies A_0\subset A_1\subset A_2\subset\dots telle que A = \overline{\bigcup_{n\to\infty}\uparrow A_n}.

On considère alors M_\infty(A):=\bigcup_{n\in\mathbb N} M_n(A)M_n(A)\hookrightarrow M_{n+1}(A) en complétant par des zéros, l’ensemble des projecteurs \mathcal P_\infty(A) de M_\infty(A). On obtient un semi-groupe abélien en considérant l’addition p\oplus q:= matrice diagonale par blocs p, q, et en quotientant par p\sim q\iff \exists v\in M_\infty(A)\; p=vv^* \& q=v^*v.

Définition. K_0(A) est le groupe engendré par le semi-groupe précédent.

Si A est une C*-algèbre AF, K_0(A) est de la limite inductive G d’une suite \mathbb Z^{n_k},\quad n_k\nearrow\infty. On lui associe l’ordre partiel canonique défini par G^+:=\lim_{\rightarrow} (\mathbb Z_+)^{n_k} et l’unité 0=(0,\dots,0). On dit que c’est un “groupe de dimension” (G,G^+,0).

Théorème (Elliot 1975). Deux C-* algèbres AF unifères sont isomorphes si et seulement si leurs groupes de dimension sont isomorphes. Tout triplet (G,G^+,u) est réalisable comme le groupe de dimension d’une certaine C*-algèbre AF.

On a donc une classification complète de ces algèbres. Les diagrammes de Brattelli permettent de construire combinatoirement les algèbres ayant tel groupe de dimension.

2. Isomorphismes des algèbres de systèmes de Cantor

Définition. Un système de Cantor est une action libre et topologiquement minimale d’un groupe discret, abélien et finiment engendré par homéomorphismes d’un Cantor.

Exercice. Montrer que la relation d’équivalence définie par un système de Cantor n’est jamais AF.

Théorème (Elliot 1990s). Pour tout système de Cantor (X,\alpha), le produit croisé (minimal ou maximal, ils sont isomorphes) C(X)\rtimes_\alpha \mathbb Z est une limite inductive d’algèbres de cercle, i.e., de la forme \bigoplus_{i=1}^p M_{n_i}(\mathbb C) \oplus \bigoplus_{j=1}^q M_{n_j}(C(\mathbb S^1)) .

Théorème (Elliot?). Pour deux systèmes de Cantor (X_i,\alpha_i),\quad i=1,2, les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. les relations induites sont isomorphes;
  2. les produits croisés correspondants sont isomorphes (en tant que C*-algèbres);
  3. les groupes de dimension (K_0(A_i),K_0(A_i)^+,[1]) sont isomorphes.

3. Equivalence orbitale

Définition. Une mesure (borélienne, de probabilité) \mu sur X est invariante par une relation étale \mathcal R si pour tout borélien E inclus dans un bon ouvert U\subset \mathcal R vérifiant r|U,\; s|U sont des homéomorphismes on a l’égalité: \mu(r(E))=\mu(s(E)). On note M(X,\mathcal R) l’ensemble de ces mesures invariantes.

Considérons les groupes additifs suivants:

  • C(X,\mathbb Z) l’ensemble des fonctions continues à valeurs entières sur $X$;
  • B(X,\mathcal R,\mathbb Z) engendré par les différences \{\chi_{r(U)}-\chi_{s(U)}: U bon ouvert compact $latex\}$ (correspond aux cobords);
  • B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) l’ensemble des fonctions continues à valeurs entières sur $X$ et d’intégrale nulle pour toute mesure invariante.

On a: B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z)\subset B(X,\mathcal R,\mathbb Z) \subset C(X,\mathbb Z).

Théorème. Si $\mathcal R$ est une relation AF ou associée à un système de Cantor alors (K_0(C^*(\mathcal R)),K_0(C^*(\mathcal R)),[1]) = \left(C(X,\mathbb Z)/B(X,\mathcal R,\mathbb Z),\left(C(X,\mathbb Z)/B(X,\mathcal R,\mathbb Z)\right)^+,[1]\right).

Proposition. Le groupe de dimension C(X,\mathbb Z)/B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) (avec son ordre et son unité) est un invariant d’équivalence orbitale.

Théorème. Deux relations AF minimales sont isomorphes ssi les groupes de dimension C(X,\mathbb Z)/B_m(X,\mathcal R,\mathbb Z) (avec leurs ordres et unités) sont isomorphes. Deux systèmes de Cantor sont orbites équivalents ssi les groupes de dimensions précédemment définis sont isomorphes.

Conséquences.

  1. Les ensembles des valeurs prises par ces invariants que ce soit pour les relations AF ou pour les systèmes de Cantor sont explicites
  2. Un système de Cantor défini par un groupe abélien, finiment engendré est orbites équivalent à une relation AF et donc au système défini par une action de \mathbb Z.

Quelques références:

  1. Notes de Jones et de la Harpe.
  2. Travaux de Kirchberg des années 1990.
  3. Plus récemment C. Delaroche et M. Hochman.

 

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Introduction

The fluctuation-dissipation relation (FDR) is a principle of statistical mechanics that relates spontaneous fluctuations (say the random current in a piece of metal) and response to external fields (say the current created by an external electric field). This principle takes various forms depending on the setting (equilibrium or not, linear or not, etc.). It has known relatively recent developments (by Green-Kubo,  Evans-Cohen-Morris,…) and  is currently much used to estimate characteristics like susceptibilities from numerical simulations. It has been considered in other fields like dynamical systems (see, e.g., this preprint) and probability theory (see this other one).

Equilibrium states

The simplest results assume equilibrium.

Fluctuations and susceptibility

According to the canonical formalism, for a system at temperature 1/\beta,  if \mu(S) is the volume of microstates whose energy belong to S, the probability of having energy at most x is: P_\beta(E<x) = e^{-\psi(\beta)} \int_{-\infty}^E e^{-\beta x} d\mu(x) where \psi is a normalizing function. It follows at least formally that the averages under P_\beta satisfy:

<E>_\beta = \psi'(\beta) and <E^2>_\beta-<E>_\beta^2 = -\psi''(\beta)

Hence the variance of the spontaneous fluctuations of the average of the energy is equal to its \beta-derivative  (the heat capacity).

This holds more generally if one replaces (E,\beta) by any pair of conjugate thermodynamical variables (X,h) provided that one can assume that the perturbation to the equilibrium state density is linear: f(P,Q)=f_0(P,Q)(1-\lambda\beta(A-<A>_0)) where \lambda A(P,Q) is the conjugating term in the Hamiltonian and <\dot>_0 is the average when $\lambda=0$. One then gets: (<B>-<B>_0 )/\lambda = \beta(<AB>_0-<A>_0<B>_0). The susceptibility is therefore again the variance of equilibrium fluctuations  if $\lambda A\equiv \lambda B$.

Stationary states

More sophisticated approaches consider the Hamiltonian dynamics starting from the equilibriu

Kubo’s formula

It deals with a system with Hamiltonian H(P,Q)=H_0(P,Q)+F(t)A(P,Q), the last term representing the external field. If B(P,Q) is an arbitrary test function, the change in its average at time t is given by:<\Delta B(t)> =\int_0^t ds R(t-s)F(s) with the response function R(t) = \beta < - \{H_0, A\} . B\circ \Phi_0^t) >_0 where \{\cdot,\cdot\} is the Poisson bracket and \Phi_0^t is the flow defined by H_0 and <\cdot >_0 denotes the average with respect to the equilibrium for Hamiltonian H_0.

If one introduces the dissipative current is J(P,Q):=\sum_j ((-\partial A/\partial q_j)F^0_j-(\partial A/\partial p_j)p_j/m) where the sum is over the particles and F^0_j=-\partial H_0/\partial q_j, the response function can be written R(t)= -\beta < J(0)B(t) >_0. Let us apply it to a uniform, constant force along the x-direction starting at t=0: A(P,Q)=-F\sum_j q^x_j, F(t)=H(t)F. It follows: J(P,Q)=-(F/m)\sum_j p^x_j and <\Delta V^x(t) >= \beta F\int_0^t ds \sum_j < v^x_j(t_0) v^x_j(t-s) >_0. The transport coefficient <\Delta V^x(t) >/F  is thus proportional to the fluctuations  at equilibrium (as measured by the self-correlation of the x-velocities).

Linear response in stochastic dynamics

This can be analyzed using Langevin dynamics: \dot X = -\gamma A'(X)-F(t)+\sqrt{2\gamma T}\eta where A is a function, \gamma, T are positive constants, \eta is a white noise. The response function is: R suc that: X(t) = \int_0^t R(t,s) F(s) \, ds can be computed: R(t,s)= (\gamma T)^{-1}H(t-s)\partial C(t,s)/\partial s where C(t,s):=<X(t)X(s)>_0 (the average when f\equiv0).

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L’article, disponible sur arxiv, explique l’état de la recherche sur l’origine microscopique  de la diffusion dans les systèmes (microscopiquement) conservatifs. Un exemple fondamental est celui de la loi de Fourrier qui résiste encore à une analyse rigoureuse malgré son apparente évidence.

Une première approche considère le couplage d’oscillateurs. Conjecturalement, les objets physiques sont les états d’équilibre locaux définis à partir d’une mesure de Gibbs produit, en volume infini, où l’on remplace la température par une fonction sur l’espace. On espère démontrer que, dans la limite de variations sur une distance L\to\infty, la dynamique microscopique les fait converger vers l’état d’équilibre global (i.e., la vraie mesure de Gibbs, avec une température uniforme) selon un processus de diffusion dans le sens suivant.

On considère la “moyenne autour” d’une fonction test f de l’énergie:

e_L(f) := \frac1{L^{d+2}} \sum_{(t,x)\in\mathbb Z_+\times\mathbb Z^d} f(t/L^{-2},x/L)e(x,p(t);q(t))

e(x,p,q) est l’énergie au site x quand l’état du système est donné par (p,q).

La limite hydrodynamique est la convergence pour presque toute condition initiale (p(0),q(0)) des moyennes précédentes vers \int f(t,x)E(t,x) dxdtE est la solution de l’équation de diffusion: \partial_t E = \nabla \cdot (\kappa(E)\nabla E) avec \kappa une fonction positive et lisse. On ne sait prouver ce genre de convergence aujourd’hui qu’en supposant la présence de bruit.

La seconde approche considère le couplage de dynamiques chaotiques. Les résultats sont ici encore plus rares, peut-être à cause du nombre d”exposants nuls quand le système est découplé. Kupiainen considère un modèle en temps discret, dont la dynamique chaotique est indépendante de l’énergie locale alors que les échanges d’énergie eux dépendent de la dynamique locale. Cette dynamique de l’énergie s’apparente à une marche aléatoire dans un environnement aléatoire en linéarisant au voisinage de $E=0$. Sous des hypothèses de  faible non-linéarité, d’ellipticité uniforme et d’indépendance des échanges entre un site et ses différents voisins, Kupiainen obtient un théorème de convergence vers une diffusion quand l’échelle L\to\infty, presque sûrement en les dynamiques chaotiques: \lim_{L\to\infty} \| L^dE(t/L^{-2},x/L)-Ct^{-d/2}\exp-x^2/4\kappa t\|=0 pour une variante de la norme uniforme. H§euristiquement, l’évolution de l’énergie devrait obéir à:

E(t+1) -E(t) = \nabla\kappa(E(t)) \nabla E(t) + \nabla\beta(t,E(t))

où le premier terme du membre de droite correspond à la moyennisation des dynamiques chaotiques tandis que le deuxième en représente les fluctuations.

La preuve de cette convergence repose l’opérateur de renormalisation: R\Phi = S_{L}\Phi(L^2(t+1)-1)\Phi(L^2(t+1)-2)\dots\Phi(L^2t) S_L^{-1}(S_L f)(t,x)=f(L^2t,x/L) agit sur un espace de dynamiques aléatoires et la preuve du théorème consiste à montrer la convergence de $\mathcal R^n f$ vers un point fixe déterministe de la forme f_*(E)=e^{\kappa\Delta} E.

Les très grandes lignes de la preuve sont esquissées en deux pages.  L’essentiel est le traitement du cas linéarisé au voisinage de $E=0$. Ceci se fait sans trop difficultés si l’on ignore les termes de haut degré. Les contrôles correspondants sont délicats. Le passage au cas non linéaire se justifie en utilisant la petitesse des dérivées d’ordre supérieur pour les renormalisées.

En conclusion, Kupiainen observe que ce modèle n’est pas très physique et indique deux questions importantes:

  1. considérer E\ne 0:  l’évolution de l’énergie locale comporte alors un terme de forçage.
  2. tenir compte de la dépendance des dynamiques locales par rapport à l’énergie: le ralentissement correspondant empêche très probablement d’avoir l’ellipticité uniforme supposée précédemment.

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