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With Sylvain Crovisier and Todd Fisher, we have just finished the paper Local perturbations of conservative C1-diffeomorphisms. It is now available on arxiv.

While studying the entropy of diffeomorphisms in this paper, we needed a number of lemmas for perturbing the dynamics of periodic orbits  with support contained in a small neighborhood and preserving given homoclinic relations. Such results were known in the dissipative setting (though some are quite recent, see Nicolas Gourmelon‘s work).  However,  the conservative (i.e., volume-preserving or symplectic) versions were often weaker or even lacking. The new preprint fills this gap.

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Le théorème d’Ornstein (1970) est un des sommets de la théorie ergodique. C’est l’aboutissement des recherches initiées par Kolmogorov sur la classification des schémas de Bernoulli et le point de départ de résultats très généraux. Downarowicz et Serafin ont publié une élégante preuve de ce théorème difficile.

Rappelons l’énoncé du théorème (dans sa version la plus simple). Un décalage de Bernoulli \Sigma est un système dynamique probabiliste constitué de l’espace \{0,1,\dots,N\}^{\mathbb Z} muni de sa tribu borélienne et d’une mesure produit \mu_{p_0,p_1,\dots} \quad (p_n\geq0,\;\sum p_n=1) et du décalage \sigma:(s_n)_{n\in\mathbb Z}\mapsto (s_{n+1})_{n\in\mathbb Z}. Un isomorphisme entre systèmes dynamiques probabilistes (X_i,\mathcal B_i,\mu_i,\sigma_i),\; i=1,2 est une bijection \psi:X_1\to X_2 vérifiant \psi^{-1}(\mathcal B_2)=\mathcal B_1 et \psi\circ\sigma_1=\sigma_2\circ\psi.

Théorème (Ornstein 1970).  Deux décalages de Bernoulli \Sigma^{(i)},\; i=1,2 sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même entropie: H(p^{(1)}):=-\sum_n p_n^{(1)}\log p_n^{(1)} = H(p^{(2)}) (p^{(1)},p^{(2)} sont les vecteurs de probabilité définissant les deux décalages; 0\log 0 = 0 par convention).

La preuve de Downarowicz et Serafin utilise (comme d’autres approches avant eux) un argument de Baire sur les couplages.  L’ensemble des couplages est une partie fermée du compact des mesures boréliennes invariantes et de probabilité pour le produit (dans la topologie * faible – N<\infty). L’ensemble \mathcal E des couplages ergodiques est un G_\delta, donc encore un espace de Baire. L’énoncé principal de Downarowicz et Serafin est:

Théorème.  Soit \Sigma^{(i)},\; i=1,2 deux décalages de Bernoulli. Si H(p^{(1)}) = H(p^{(2)}) alors l’ensemble des facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)} est une partie générique de \mathcal E.

Le théoreme d’Ornstein s’en déduit immédiatement, l’intersection de deux parties génériques d’un espace de Baire étant générique et donc non-vide.

La partie générique du théorème est obtenue comme l’intersection des ouverts \mathcal F_\epsilon, l’ensemble des \epsilon-facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)}:  les couplages \xi tels que pour tout b\in\{0,1,\dots,N\}, il existe un borélien B tel que la différence symétrique entre \Sigma^{(1)}\times\{b\} et B\times \Sigma^{(2)} soit de \xi-mesure strictement inférieure à \epsilon.

Les \mathcal F_\epsilon,\;\epsilon>0 étant manifestement ouverts et emboîtés, il suffit de montrer que tout couplage ergodique \xi peut être approché par un élément de \mathcal F_\epsilon. Cette approximation se fait en deux étapes.

Etape 1. Construction d’un facteur \mu\to\nu' pour h(\nu')\sim h(\nu) (\mu:=\mu^{(1)},\nu:=\mu^{(2)})

Etape 2. Modification du facteur en un élément de \mathcal F_\epsilon.

 

 

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Dans un travail récemment diffusé sur arxiv, Jana RODRIGUEZ HERTZ montre le théorème suivant:

Théorème. Soit un difféomorphisme f:M\to M d’une variété compacte tridimensionnelle, de classe C^1 et préservant la mesure volume m. Génériquement, f vérifie l’une des deux assertions suivantes:

  1. m-p.p.les trois exposants de Lyapunov sont nuls;
  2. m-p.p. aucun des trois exposants n’est nul. De plus (a) (f,m) est ergodique; (b) f est partiellement hyperbolique, i.e., admet une décomposition dominée TM=E\oplus^{<} F volume hyperbolique séparant les exposants strictement positifs et strictement négatifs.

 

Ce résultat fait partie d’un ensemble initié par le théorème de Bochi (ETDS 2002, annoncé par Mané en 1983) généralisé par Bochi et Viana (Ann. Math. 2005, en version preprint sur arxiv) sous la forme: pour un difféomorphisme générique d’une variété compacte, de classe C^1 et préservant le volume, la décomposition d’Oseledets (définie m-p.p. par les valeurs des exposants) s’étend en une décomposition dominée. En 2009, Avila et Bochi (Trans AMS 2012, en version preprint sur arxiv) avaient montré qu’en toute dimension, on a génériquement soit on a des exposants nuls presque partout, soit il existe un ensemble dense et de mesure non-nulle sans exposants de Lyapunov et sur lequel la dynamique est ergodique.

Avila, Crovisier and Wilkinson ont annoncé la généralisation en toute dimension du théorème de J. Rodriguez Hertz.

Ingrédients de la preuve. Le point principal (par rapport à ce qui est connu) réside en l’affirmation: si l’ensembleE des points ayant trois exposants \lambda_1(x)<\lambda_2(x)=0<\lambda_3(x) n’est pas de mesure nulle alors f est volume hyperbolique, non seulement au-dessus de E (ceci découle des techniques de Bochi et Viana)  mais globalement. On pourra alors conclure en combinant le théorème d’ergodicité de Hertz-Hertz-Urès et la technique perturbative de Bonatti-Barraviera (qui permet de moyenniser l’exposant central).

La preuve de l’affirmation se fait en considérant K, l’ensemble où f est partiellement hyperbolique privé de l’union des classes d’accessibilité ouvertes. Selon la proposition 5.3, les classes d’accessibilité définissent sur K une lamination compacte.

L’ensemble des feuilles compactes de K est encore une lamination d’après Haefliger. Si celle-ci n’est pas vide,  on peut trouver une feuille de bord qui donne un tore périodique sur lequel f est Anosov. Il existe donc deux points homocliniquement reliés, ce qui amène la contradiction dans ce cas. Supposons donc qu’aucune des feuilles de K n’est compacte.

Les composantes connexes de M\setminus K sont périodiques par préservation du volume. On les complète en ajoutant leurs feuilles de bord. On peut les écrire comme une union d’une partie compacte G et d’un fibré en droites F au-dessus de surfaces non-compactes (arbitrairement petites), l’intersection des deux étant une union d’anneaux.

Soit l’ensemble des points qui reviennent une infinité de fois dans G, soit l’ensemble des points restant après N itérations dans I est d’intérieur non-vide. On peut ensuite utiliser le lemme de fermeture d’Anosov pour trouver les deux points homocliniquement reliés et conclure.

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Dans un article disponible sur arxiv, Nassiri et Pujals établissent des propriétés de mélange robuste pour certains systèmes hamiltoniens notamment en donnant une version symplectique des mélangeurs de Bonatti et Diaz. Une des motivations est la conjecture de diffusion d’Arnold (voir par exemple ce texte) selon laquelle, sauf en dimension 2, une dynamique définie par un hamiltonien H_\epsilon, intégrable pour \epsilon=0, admet génériquement, dès que \epsilon\ne0, des orbites pour lesquelles l’action varie d’une quantité ne tendant pas vers zéro avec \epsilon.

Citons deux de leurs théorèmes:

Théorème B.  Soit 1\leq r\leq\infty. Soit f,g deux difféomorphismes symplectiques de classe C^r de deux variétés M,N. Supposons:

  1. f admet un ensemble invariant hyperbolique et topologiquement transitif;
  2. g est intégrable et M est compact et sans bord.

Alors f\times g est accumulé en topologie C^\infty par des difféomorphismes symplectiques admettant un ensemble robustement transitif (i.e., admettant une continuation, dans un sens faible, encore transitive) et se projetant sur N tout entier.

Théorème D. Soit H_1,H_2 deux hamiltoniens dépendant périodiquement du temps sur deux variétés M_1,M_2 de volumes finis. Soit H_\epsilon=H_1+\epsilon H_2 pour \epsilon>0 assez petit. Pour \alpha>0 arbitraire, il existe des hamiltoniens s’accumulant sur H_\epsilon en topologie C^\infty et possédant, robustement, un ensemble invariant transitif dont la projection sur M_2 est de volume supérieur à vol(M_2)-\alpha.

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L’article, disponible sur arxiv, explique l’état de la recherche sur l’origine microscopique  de la diffusion dans les systèmes (microscopiquement) conservatifs. Un exemple fondamental est celui de la loi de Fourrier qui résiste encore à une analyse rigoureuse malgré son apparente évidence.

Une première approche considère le couplage d’oscillateurs. Conjecturalement, les objets physiques sont les états d’équilibre locaux définis à partir d’une mesure de Gibbs produit, en volume infini, où l’on remplace la température par une fonction sur l’espace. On espère démontrer que, dans la limite de variations sur une distance L\to\infty, la dynamique microscopique les fait converger vers l’état d’équilibre global (i.e., la vraie mesure de Gibbs, avec une température uniforme) selon un processus de diffusion dans le sens suivant.

On considère la “moyenne autour” d’une fonction test f de l’énergie:

e_L(f) := \frac1{L^{d+2}} \sum_{(t,x)\in\mathbb Z_+\times\mathbb Z^d} f(t/L^{-2},x/L)e(x,p(t);q(t))

e(x,p,q) est l’énergie au site x quand l’état du système est donné par (p,q).

La limite hydrodynamique est la convergence pour presque toute condition initiale (p(0),q(0)) des moyennes précédentes vers \int f(t,x)E(t,x) dxdtE est la solution de l’équation de diffusion: \partial_t E = \nabla \cdot (\kappa(E)\nabla E) avec \kappa une fonction positive et lisse. On ne sait prouver ce genre de convergence aujourd’hui qu’en supposant la présence de bruit.

La seconde approche considère le couplage de dynamiques chaotiques. Les résultats sont ici encore plus rares, peut-être à cause du nombre d”exposants nuls quand le système est découplé. Kupiainen considère un modèle en temps discret, dont la dynamique chaotique est indépendante de l’énergie locale alors que les échanges d’énergie eux dépendent de la dynamique locale. Cette dynamique de l’énergie s’apparente à une marche aléatoire dans un environnement aléatoire en linéarisant au voisinage de $E=0$. Sous des hypothèses de  faible non-linéarité, d’ellipticité uniforme et d’indépendance des échanges entre un site et ses différents voisins, Kupiainen obtient un théorème de convergence vers une diffusion quand l’échelle L\to\infty, presque sûrement en les dynamiques chaotiques: \lim_{L\to\infty} \| L^dE(t/L^{-2},x/L)-Ct^{-d/2}\exp-x^2/4\kappa t\|=0 pour une variante de la norme uniforme. H§euristiquement, l’évolution de l’énergie devrait obéir à:

E(t+1) -E(t) = \nabla\kappa(E(t)) \nabla E(t) + \nabla\beta(t,E(t))

où le premier terme du membre de droite correspond à la moyennisation des dynamiques chaotiques tandis que le deuxième en représente les fluctuations.

La preuve de cette convergence repose l’opérateur de renormalisation: R\Phi = S_{L}\Phi(L^2(t+1)-1)\Phi(L^2(t+1)-2)\dots\Phi(L^2t) S_L^{-1}(S_L f)(t,x)=f(L^2t,x/L) agit sur un espace de dynamiques aléatoires et la preuve du théorème consiste à montrer la convergence de $\mathcal R^n f$ vers un point fixe déterministe de la forme f_*(E)=e^{\kappa\Delta} E.

Les très grandes lignes de la preuve sont esquissées en deux pages.  L’essentiel est le traitement du cas linéarisé au voisinage de $E=0$. Ceci se fait sans trop difficultés si l’on ignore les termes de haut degré. Les contrôles correspondants sont délicats. Le passage au cas non linéaire se justifie en utilisant la petitesse des dérivées d’ordre supérieur pour les renormalisées.

En conclusion, Kupiainen observe que ce modèle n’est pas très physique et indique deux questions importantes:

  1. considérer E\ne 0:  l’évolution de l’énergie locale comporte alors un terme de forçage.
  2. tenir compte de la dépendance des dynamiques locales par rapport à l’énergie: le ralentissement correspondant empêche très probablement d’avoir l’ellipticité uniforme supposée précédemment.

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It is often interesting to study the properties of objects picked at random in some class. This may shed some light on whether some observed system has is typical in some probabilistic model or may even turn out to be an efficient way of  obtaining an interesting behavior. This idea was put to spectacular use by Erdös in combinatorics (see Random graphs, Bollobas?), and closer to us, by Gromov (and later Yann Ollivier) for finitely presented groups.

In a very recent preprint, K. McGoff has considered random subshift of finite type (see An introduction to symbolic dynamics by Marcus and Lind). A subshift of finite type is a compact set of the form

X:=\{x\in\{1,\dots,N\}^{\mathbb N}: \forall p\in\mathbb Z\; x_px_{p+1}\dots x_{p+L-1}\in\mathcal A\}

where N\in\mathbb N^* and \mathcal A\subset\{1,\dots,N\}^L for some L, the finite sequences being considered up to translation of the indices. The self-map \sigma: (x_p)_{p\in\mathbb Z}\mapsto (x_{p+1})_{p\in\mathbb Z} (called the shift) turns X into a dynamical system.

Note that the following inclusion is usually strict: \mathcal B(X,L):=\{x_p\dots x_{p+L-1}:x\in X,\; p\in\mathbb Z\} \subset \mathcal F.

Given \mathcal F, some of the most natural questions are:

  1. Is X empty?
  2. What is the entropy of X? This quantifies how big X is. It is the positive number h(X):=\lim_{n\to\infty}\frac1n\log \#X(n) where X(n) is the set of all the finite sequences of length $n$ which occurs as a subsequence of any x\in X and \#X(n) is the cardinality of that set.
  3. How many irreducible components does X have? An irreducible component  is the closure of an orbit, i.e., \{\sigma^n(x):n\in\mathbb Z\}, which is not included in a larger one.

Let us stress that these questions are well-known to have an algorithmic answer. If the maximal length of sequences appearing in \mathcal F is L, one defines a N^{L-1}\times N^{L-1}-matrix with 0,1-entries. The largest positive eigenvalue is the exponential of the entropy (or zero if and only if X=\emptyset) and its multiplicity is the number of irreducible components. But of course N^{L-1} is very large if L is large.

K. McGoff considers the following random model with parameter 0\leq \alpha\leq 1 and a subshift of finite type X. Given L a very large integer, \mathcal F\subset\mathcal B(X,L) is defined by declaring that each sequence of length belongs to \mathcal F independently and with probability 1-\alpha. He then considers the limit of the probabilities when L\to\infty. Let us quote his main results in a somewhat weakened form and specialized to X=\{1,\dots,N\}^{\mathbb Z} for simplicity.

There is a dichotomy between small \alpha (empty shift with positive limit probability,  zero entropy with full limit probability, non-trivial distribution of the number of components) and large \alpha (non-empty, entropy close to \log(\alpha\lambda) and a single, aperiodic irreducible component with full limit probability).

The above results for small \alpha are shown for all \alpha<1/N. For large \alpha, the non-emptyness holds for \alpha\geq 1/N, the convergence of the entropy for \alpha>1/N and the irreducibility and aperiodicity for \alpha close enough to 1.

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Frédéric Le Roux has written a very lucid exposition of the Alpern genericity theorem. This theorem states that the same ergodic properties are generic in the set Auto(T^d) of volume-preserving measurable transformations and in the set Homeo(T^d) of volume-preserving  homeomorphisms.

More precisely,  endow Auto(T^d)   with the weak topology, i.e., the coarsest generated by \mu\mapsto\mu(A), for all measurable subsets A and equip Homeo(T^d)  with the uniform distance.

The theorem considers any P\subset Auto(T^d)  invariant under volume-preserving measurable isomorphisms. It states that P  is a dense G_\delta subset of Auto(T^d) if and only if P\cap Homeo(T^d) is itself a dense G_\delta subset of Homeo(T^d).

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