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Posts Tagged ‘thermodynamical formalism’

Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

  1. existence de plusieurs états d’équilibre;
  2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
  3. corrélations à longue portée;
  4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact X et une fonction réelle, continue et convexe P:C(X)\to\mathbb R (la pression) sur l’ensemble C(X) des fonctions réelles continues. Soit M(X) l’ensemble des probabilités boréliennes sur X muni de la topologie * faible. L’entropie E:M\to\mathbb R est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure m\in M, il y a équivalence entre:

  1. m maximise E(m)+m(f) (on dit que c’est un état d’équilibre pour f);
  2. m est une sous-différentielle de P en f: P(f+g)\leq P(f)+m(g) pour tout g\in C(x).

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en f si et seulement la mesure d’équilibre pour f est unique. On en déduit qu’une fonction f\in C(X) générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact X dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes h:M\to\mathbb R est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: P(f):=\sup\{h(m)+m(f):m\in M\}. On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. h(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

(2) P(f)=\sup\{E(\mu)+\mu(f):\mu\in M\};

Ici (1) est la définition de E. (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) P(f)\geq E(\mu)+\mu(f), conséquence triviale de (1).

Si m est un état d’équilibre pour f, l’inégalité (2′) donne, pour tout g\in C(x),

P(f+g) \geq E(m)+m(f+g) \leq P(f)+m(g),

donc m est une sous-différentielle. Réciproquement, si m\in M est une sous-différentielle, alors, pour tout g\in C(X),

P(f) \leq P(f+g) - m(g) = P(f+g)-m(f+g)+m(f)

donc, vu (1),

P(f) \leq \inf\{P(k)-m(k):k\in C(X)\} + m(f) = E(m)+m(f).

On voit que m est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

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Renaud Leplaideur a exposé au groupe de travail de théorie ergodique ses tout derniers travaux avec H. Bruin, A.T. Baraviera et A.O. Lopes. Ils ont en particulier construit, pour tout 0<a<1, une application f_a:S^1\to S^1 de classe C^1 présentant une transition de phase et un compact K, invariant, uniquement ergodique et indifférent: (i) f_a'\geq 1; (ii) (f_a')^{-1}(1)=K; (iii) le potentiel - \log f_a' possède plusieurs mesures d’équilibre.

Ceci généralise l’exemple bien connu de Manneville-Pomeau. Plusieurs autres résultats suggèrent des liens entre cette non-unicité et une certaine invariance par renormalisation du potentiel, sans qu’il soit clair qu’il s’agisse là d’un phénomène général ou encore d’un analogue mathématique du lien entre phénomène critique et invariance par renormalisation établi et exploité par les physiciens théoriciens depuis Wilson et les années 1970.

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Soit T:X\to X un système dynamique hyperbolique topologiquement transitif muni d’un potentiel continu \phi:X\to\mathbb R. La mesure de Gibbs à température 1/\beta est par définition l’unique mesure de probabilité T-invariante \mu_\beta maximisant l’énergie libre (appelée pression en dynamique…): h(T,\mu)+\beta\int \phi\, d\muh(T,\mu) est l’entropie mesurée.

Il est facile de voir que tout point d’accumulation de \mu_\beta pour \beta\to\infty maximise \int \phi\, d\mu. Pour certains systèmes, il existe plusieurs mesures maximisantes. Toutefois, Julien BREMONT a montré en 2001 que les \mu_\beta convergent si T est un sous-décalage de type fini et \phi est localement constant. Depuis, plusieurs chercheurs ont cherché à généraliser ceci au cadre habituel, à savoir \phi hölderienne.

Dans un récent préprint, Jean-René Chazottes et Mike HOCHMAN ont construit un potentiel lipschitzien pour lequel cette convergence n’a pas lieu. Ils montrent de plus que pour les sous-décalages de type fini multi-dimensionnels, cette convergence peut même tomber en défaut pour des potentiels localement constants!

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