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Posts Tagged ‘thermodynamical formalism’

Renaud Leplaideur a exposé au groupe de travail de théorie ergodique ses tout derniers travaux avec H. Bruin, A.T. Baraviera et A.O. Lopes. Ils ont en particulier construit, pour tout 0<a<1, une application f_a:S^1\to S^1 de classe C^1 présentant une transition de phase et un compact K, invariant, uniquement ergodique et indifférent: (i) f_a'\geq 1; (ii) (f_a')^{-1}(1)=K; (iii) le potentiel - \log f_a' possède plusieurs mesures d’équilibre.

Ceci généralise l’exemple bien connu de Manneville-Pomeau. Plusieurs autres résultats suggèrent des liens entre cette non-unicité et une certaine invariance par renormalisation du potentiel, sans qu’il soit clair qu’il s’agisse là d’un phénomène général ou encore d’un analogue mathématique du lien entre phénomène critique et invariance par renormalisation établi et exploité par les physiciens théoriciens depuis Wilson et les années 1970.

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Soit T:X\to X un système dynamique hyperbolique topologiquement transitif muni d’un potentiel continu \phi:X\to\mathbb R. La mesure de Gibbs à température 1/\beta est par définition l’unique mesure de probabilité T-invariante \mu_\beta maximisant l’énergie libre (appelée pression en dynamique…): h(T,\mu)+\beta\int \phi\, d\muh(T,\mu) est l’entropie mesurée.

Il est facile de voir que tout point d’accumulation de \mu_\beta pour \beta\to\infty maximise \int \phi\, d\mu. Pour certains systèmes, il existe plusieurs mesures maximisantes. Toutefois, Julien BREMONT a montré en 2001 que les \mu_\beta convergent si T est un sous-décalage de type fini et \phi est localement constant. Depuis, plusieurs chercheurs ont cherché à généraliser ceci au cadre habituel, à savoir \phi hölderienne.

Dans un récent préprint, Jean-René Chazottes et Mike HOCHMAN ont construit un potentiel lipschitzien pour lequel cette convergence n’a pas lieu. Ils montrent de plus que pour les sous-décalages de type fini multi-dimensionnels, cette convergence peut même tomber en défaut pour des potentiels localement constants!

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