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Archive for the ‘should have known’ Category

Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

  1. existence de plusieurs états d’équilibre;
  2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
  3. corrélations à longue portée;
  4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact X et une fonction réelle, continue et convexe P:C(X)\to\mathbb R (la pression) sur l’ensemble C(X) des fonctions réelles continues. Soit M(X) l’ensemble des probabilités boréliennes sur X muni de la topologie * faible. L’entropie E:M\to\mathbb R est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure m\in M, il y a équivalence entre:

  1. m maximise E(m)+m(f) (on dit que c’est un état d’équilibre pour f);
  2. m est une sous-différentielle de P en f: P(f+g)\leq P(f)+m(g) pour tout g\in C(x).

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en f si et seulement la mesure d’équilibre pour f est unique. On en déduit qu’une fonction f\in C(X) générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact X dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes h:M\to\mathbb R est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: P(f):=\sup\{h(m)+m(f):m\in M\}. On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. h(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

(2) P(f)=\sup\{E(\mu)+\mu(f):\mu\in M\};

Ici (1) est la définition de E. (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) P(f)\geq E(\mu)+\mu(f), conséquence triviale de (1).

Si m est un état d’équilibre pour f, l’inégalité (2′) donne, pour tout g\in C(x),

P(f+g) \geq E(m)+m(f+g) \leq P(f)+m(g),

donc m est une sous-différentielle. Réciproquement, si m\in M est une sous-différentielle, alors, pour tout g\in C(X),

P(f) \leq P(f+g) - m(g) = P(f+g)-m(f+g)+m(f)

donc, vu (1),

P(f) \leq \inf\{P(k)-m(k):k\in C(X)\} + m(f) = E(m)+m(f).

On voit que m est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

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0. Problème du générateur

L’existence d’une partition génératrice finie ou dénombrable est équivalente à la possibilité de plonger un système dans un décalage sur un alphabet fini ou dénombrable, ie, \mathbb N^{\mathbb Z} et donc conditionne la réductibilité de maints problèmes au cas symbolique. Cette problématique est également fortement liée à l’entropie.

Je répète ici la présentation de Benjamin WEISS, Countable generators in dynamics” (1989) qui a donné une version borélienne (ou si l’on veut mesurable) du théorème de Rokhlin.

1. Théorème de Rokhlin (1963)

Enoncé: Soit (X,\mathcal X,\mu,T) un système dynamique probabiliste inversible défini sur un espace de Rokhlin. Si ce système est ergodique, alors il existe une partition dénombrable \mathcal P dite génératrice unilatérale: \bigvee_{k\leq0} T^{-k}\mathcal P= \mathcal X modulo \mu.

Lemme. Pour toute partition finie \mathcal P et tout mesurable C de mesure non-nulle, il existe une partition dénombrable \mathcal Q de C, telle que \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\})\geq \mathcal P.

Preuve du lemme: On subdivise C selon le temps de premier retour, puis chaque morceau correspondant au temps de retour n selon \bigvee_{k=0}^{n-1} T^{-k}\mathcal P. La partition \mathcal Q ainsi obtenue est mesurable et dénombrable. Par ergodicité, l’orbite de presque tout point x visite C en un temps -n avec n\geq0 minimal. L’élément de \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\}) contenant x est donc contenu dans un élément de \mathcal P. Dans un espace de Rokhlin, ceci permet de conclure.

Preuve du théorème: On peut  supposer (\mu,T) apériodique, le théorème étant sinon trivial. Il existe donc une suite de mesurables disjoints C_0,C_1,C_2,\dots de mesures non-nulles. Dans un espace de Rokhlin, il existe une suite de partitions mesurables finies telles que \bigvee_{n\geq0} \mathcal P_n=\mathcal X modulo \mu. Le lemme fournit pour chaque entier n\geq0, une partition dénombrable \mathcal Q_n de C_n. On pose \mathcal Q:=\bigcup_{n\geq0} \mathcal Q_n\cup\{X\setminus\bigcup_{n\geq0}C_n\}. C’est bien une partition dénombrable vu la disjonction des C_n et \bigvee_{n\in\mathbb Z} T^{-n}\mathcal Q\geq\bigvee_{n\geq0} P_n=\mathcal X modulo \mu.

2. Version borélienne

Contexte: (X,\mathcal X,T) est un automorphisme d’un espace de Borel standard. On le muni de l’idéal errant \mathcal W. Un borélien est dit complètement positif si le complémentaire de son orbite positive \bigcup_{n\geq1} T^nB appartient à \mathcal W. Autrement dit, l’ensemble des points qui ne visite pas B une infinité de fois dans le passé et dans le futur appartient à \mathcal W.

Lemme: Si T est apériodique (sans points périodiques), alors il existe un borélien complètement positif satisfaisant A\cap TA=\emptyset.

Remarque: Si A est complètement positif, alors TA l’est aussi: X\setminus\bigcup_{n\geq1} T^n(TA)=(X\setminus\bigcup_{n\geq1}T^nA) \cup \{x\in A:\forall n\geq2 T^nx\notin A\}, l’union de deux éléments de \mathcal W (utilise le théorème de récurrence de Poincaré).

On itère ce lemme en posant A_0:=A et en considérant le système (A_n,\mathcal X\mid A_n,T_{A_n}), ce qui fournit A_{n+1},TA_{n+1}\subset A_n, donc disjoints de TA_n et de A_0,\dots,A_{n-1}.

Corollaire: il existe une suite de boréliens disjoints C_n,n\geq0, complètement positifs.

Un espace de Borel standard admet une suite de partitions finies dont l’union est génératrice. A partir de là, il suffit de reproduire la preuve du théorème de Rokhlin.

3. Commentaires

En général il n’existe pas de générateur fini – l’existence d’une mesure de probabilité invariante d’entropie infinie suffit à l’interdire. Dans le cadre mesuré, c’est la seule objection. Dans le cadre borélien,

Question (B. Weiss 1989): Un système dynamique borélien standard n’admettant pas de mesure finie invariante possède-t-il toujours un générateur à deux éléments?

 

 

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Quelques notes sur une ancienne présentation de la dynamique mesurable, par B. Weiss (Contemporary Math. 26).

Soit X un espace de Borel standard : espace admettant une métrique complète muni de la tribu \mathcal B des boréliens

Soit T:X\to X un automorphisme: bijection vérifiant T(\mathcal B)=\mathcal B.

0. Théorème de représentation continue

On peut en fait toujours supposer le cadre continu, ie, supposer qu’on a un homéomorphisme d’un espace polonais (mais sans compacité!):

Théorème (George Mackey). Soit T:X\to X un automorphisme d’un espace de Borel standard. X admet une topologie \tau telle que:

  • \mathcal B est la tribu borélienne de \tau;
  • (X,\tau) est admet une métrique complète séparable;
  • T:(X,\tau)\to (X,\tau) est un homéomorphisme.

1. Mesures quasi-invariantes

1.1 Définitions.

Une mesure borélienne \mu (toujours supposée de probabilité) est:

  • quasi-invariante si T_*(\mu),\mu sont équivalentes;
  • apériodique si l’ensemble des points périodiques est de mesure nulle;
  • continue si tous les singletons sont de mesure nulle;
  • ergodique si les tous les ensembles invariants sont de mesure nulle ou de complémentaire de mesure nulle;
  • conservative si \mu(W)=0 pour tout ensemble errant.

Remarque: une mesure ergodique et continue est conservative.

Remarque: Il est naturel de considérer les classes de mesures quasi-invariantes, plutôt que celles-ci. Si une mesure non-nulle est \sigma-finie, alors elle est équivalente à une mesure de probabilité. (A vérifier: la restriction aux probas).

1.2. Ensembles errants.

W\in\mathcal B est un ensemble errant ssi \forall n\ne0\;W\cap T^nW=\emptyset.

Définition. L‘idéal errant est \mathcal W(T):=\{B\in\mathcal B:\exists W \text{ errant t.q. }B\subset \bigcup_{n\in\mathbb Z} T^nW\}. Si X\in\mathcal W(T), on dit que T est totalement dissipatif.

Remarque: \mathcal W(T) est un \sigma-idéal (A\in\mathcal W(T),B\in\mathcal B\implies A\cap B\in\mathcal B, A_n\in\mathcal W(T)\implies\bigcup_n A_n\in\mathcal W(T)) et TA\subset A\implies A\setminus TA\in\mathcal W.

Proposition (Récurrence de Poincaré). Pour tout B\in\mathcal B, il existe B'\subset B tel que B\setminus B'\in\mathcal W(T) vérifiant x\in B'\implies\exists n\to\infty T^nx\in B'.

1.3. Théorème de structure

Théorème. Si T est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors il existe un borélien B tel que le premier retour T_B est isomorphe à un odomètre.

1.4. Conséquences

Corollaire. Si T est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors, pour toute transformation $(S,\nu)$, ergodique et non-singulière de type II_\infty,III, il existe une mesure quasi-invariante \mu pour T telle que (T,\mu) et (S,\nu) sont orbites-équivalentes.

Corollaire (Shelah-Weiss, 1982). \mathcal W(T)=\bigcap_{\mu} \{B\in\mathcal B:\mu(B)=0\}\mu parcourt les mesures continues et quasi-invariantes.

2. Spectre d’un automorphisme

Définition. \lambda\in S^1 tel qu’il existe une fonction mesurable f:A\to S^1\;(A\notin\mathcal W(T)) vérifiant f\circ T=\lambda f.

Théorème. Si $latexT$ n’est pas dissipatif alors S^1 tout entier est le spectre.

3. Généralisation

On peut remplacer S^1 par un espace métrique compact et la multiplication par \lambda\in S^1 par un homéomorphisme quelconque de ce compact.

4. Tours de Rokhlin

On recherche des invariants en l’absence de mesures de probabilité invariantes.

Exemple. Soit E\subset S^1 un ensemble maigre mais de mesure positive. Pour toute rotation irrationnelle R_\alpha,  la restriction à S^1\setminus\bigcup (E+n\alpha) donne un tel système. En 1984, on ne sait pas les classifier.

Question. Existe-t-il toujours une partition génératrice finie ou dénombrable modulo \mathcal W(T)? (“I haven’t been able to decide whether or not countable generators always exist in the Borel sense”)

Remarque. Modulo un ensemble de mesure nulle pour une probabilité invariante, il s’agit des théorèmes de Rokhlin (cas dénombrable) et Krieger (cas fini).

Théorème. Supposons T sans points périodiques et A  de complémentaire “complètement positif”, i.e., pour toute mesure quasi-invariante ergodique \mu(A^c)>0. Soit p un nombre premier. Alors il existe B\in\mathcal B vérifiant:

  • B,TB,\dots,T^{p-1}B sont deux-à-deux disjoints;
  • A\setminus \bigcup_{j=0}^{p-1} T^jB\in\mathcal W(T).

Remarque. Si (T^p,\mu) est ergodique et \mu(A)=1,  alors on ne peut construire un tel B. (?)

Remarque. B est complètement positif ssi X\setminus\bigcup_{j\geq0} T^jB\in\mathcal W(T).

5. Hyper-finitude

Théorème. L’équivalence orbitale induite par T est hyper-finie, i.e., une union croissante de relations dont les classes d’équivalences sont finies.

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Les difféomorphismes d’Anosov f:M\to M admettent des partitions de Markov, i.e., des recouvrements finis \{R_1,\dots,R_N\} de M satisfaisant pour un certain \epsilon>0 et tout i=1,\dots,N:

  • diam(R_i)<\epsilon et [x,y]:=W^s_\epsilon(x)\cap W^u_\epsilon(y) est bien défini R_i\times R_i\to R_i;
  • Pour j\ne i, int(R_i)\cap int(R_j)=\emptyset;
  • R_i=\overline{int(R_i)};
  • f(R_i\cap W^s_\epsilon(x))\subset R_j\cap W^s_\epsilon(f(x)) si x\in int(R_i)\cap f^{-1}(int(R_j)) et de même pour W^u_\epsilon, f^{-1}.

Dans le cas des surfaces, on peut construire des partitions de Markov simplement en considérant les variétés stables et instables issues d’un point fixe ou périodique.  Les bords des partitions ainsi obtenues sont inclus dans une union finie de variétés stables ou instables et sont donc négligeables pour toute mesure invariante apériodique. En dimension supérieure, les bords ne peuvent être de cette forme pour de simples raisons de dimension.

Le bord d’une partition de Markov peut porter une dynamique assez riche comme le montre un exemple de R.W. Williams dans le cas dilatant et la construction plus générale étudiée par J. Ashley, B. Kitchens, M. Stafford dans un article des Trans. AMS de 1992 que m’a signalé Vincent PIT.

1. Exemple de Williams dans le cas de f(x)=2x \mod 1 sur le cercle (exemple 3.5 de l’article cité). On pose A_0:=[3/4,1],\; A_{n+1}:=f^{-1}(A_n)\setminus\bigcup_{k\leq n} A_k et P_i:=\overline{\{E(2x)=E(i/2)\}\cap\bigcup_{n\equiv i\mod 2}A_k}. \mathcal P:=\{P_0,P_1,P_2,P_3\} vérifie: R_i=\overline{int R_i},\; int(R_i)\cap int (R_j)=\emptyset, \; f(int(R_i))\cap R_j\ne\emptyset\implies f(R_i)\supset R_j (partition de Markov au sens des endomorphismes). Mais l’ensemble des points non-errant de (\partial\mathcal R:=\bigcup_i \partial R_i,f) est topologiquement conjugué au décalage défini en interdisant 11 (observons que A_n est l’ensemble des nombres dont le développement binaire fait apparaître 11 pour la première fois à la position n).

2. Construction générale dans le cas d’un automorphisme hyperbolique f:T\to T du tore bidimensionel (lemme 3.9). Soit X\subset T  invariant et conjugué à un  système sofique irréductible quelconque, d’entropie strictement inférieure à celle de f.  Une partition de Markov géométrique fournit  une première extension topologique \gamma:Y\to T, de degré 1 (presque tout point de T a exactement 1 préimage). Les auteurs construisent (théorème 2.10, raffinant le lemme 2.6 – voici un exemple) une deuxième extension topologique \pi:Z\to Y de degré 1 avec Z un autre décalage irréductible de type fini et qui réalise \gamma^{-1}(X) comme son cœur, i.e., l’ensemble des points de Y admettant au moins 2 préimages x^1,x^2 complètement séparées: \forall n\in\mathbb Z\;x^1_n\ne x^2_n.  La partition standard de Z se projette par \gamma\circ\pi en une partition de Markov P de f:T\to T. Les auteurs montrent que l’ensemble non-errant de f|\bigcap_{n\in\mathbb Z}f^{-n}\partial P est bien égal à X. Remarquons que cet ensemble non-errant est égal à l’ensemble des points admettant des itinéraires complétement séparés (théorème 1.5).

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On a le résultat classique suivant:

Théorème. Dans tout groupe topologique localement compact, il existe une mesure borélienne positive, finie sur les compacts et invariante par toutes les translations à gauche. De plus cette mesure est régulière et unique, à un facteur strictement positif près.

Sa preuve se trouve par exemple dans le livre Measure theory de Paul R. Halmos (voir pp. 254, 262). L’existence est obtenue par la stratégie suivante: (1) définition d’une “capacité” (“content” en anglais) des ensembles compacts à partir du nombre de translatés d’un ouvert donné U\ne\emptyset nécessaires pour recouvrir un compact considéré; (2) passage à la “limite” des petits ouverts; (3) obtention d’une mesure à partir d’une “capacité”, i.e., une fonction définie sur les compacts et à valeurs dans [0,\infty[, monotone, finiement additive en restriction à des parties disjointes, sous-additive en général. La preuve de l’unicité découle d’une formule reliant deux mesures de Haar quelconques.

Quelques détails:

(1) \lambda_U(K) := (K:U)/(A:U)(K:U) est le nombre minimal de translatés de U nécessaire pour recouvrir K et A est un compact d’intérieur non-vide fixé arbitrairement mais pour toute la construction.

(2) \Lambda(U) := adherence\{ \lambda_V : V voisinage compact de l’identité de G et V\subset U\} où la fermeture est prise dans la topologie de la convergence simple.

(3) \mu_*(W):=\sup \{\lambda(K):K\subset W\} définie sur les ouverts appartenant à la tribu \mathcal B engendrée par les compacts est monotone, dénombrablement additif sur les parties disjointes et dénombrablement sous-additif en général; \mu^*(E):=\inf \{\mu_*(U): U\supset E ouvert et U\in\mathcal B\} est monotone et dénombrablement sous-additive sur les ensembles inclus dans des unions dénombrables de compacts; pour tout compact K et tout ouvert U\in\mathcal B, \mu^*(U)=\mu^*(U\cap K)+\mu^*(U\cap K^c); \mu^* définit une mesure borélienne régulière  sur \mathcal B.

(4) Soit \mu,\nu sont deux mesures de Haar. Si E\in\mathcal B satisfait 0<\nu(E)<\infty et f\geq0 est mesurable, alors f(x)\, d\mu(x) = \mu(E) \int \frac{f(y^{-1})}{\nu(Ey)}\, d\nu(y).

Remarque. Le théorème cité concerne l’invariance par les translations à gauche; il existe un théorème analogue pour les translations à droite (considérer la mesure de Haar dans le groupe image par x\mapsto x^{-1}). Les deux (familles de) mesures ne sont pas nécessairement égales comme le montre l’exemple du groupe matriciel [[x,y],[0,1]], x\in]0,\infty[, y\in\mathbb R on a \mu_g=dxdy/x^2 et \mu_d=dxdy/x à un facteur près).

Question. Exemples de groupes localement compacts tels que \lambda\ne\mu^* sur \mathcal B ? Une condition nécessaire et suffisante pour l’égalité (p.237 du livre de Halmos) est d’avoir \lambda(K)=\inf\{\lambda(L):K\subset int(L),\; L compact \} pour tout compact K.

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Decay of correlations at a speed given by some numbers u_n\to0 for some dynamics T:X\to X and two spaces E,F of functions over X with zero average, is formulated in two similar ways in various works: for all f\in E,\; g\in F,

  1. |cov(f,g\circ T^n)| \leq C(f,g) u_n for some C(f,g)<\infty depending arbitrarily on f,g;
  2. |cov(f,g\circ T^n)| \leq K \|f\|\cdot \|g\| u_n for some K<\infty independent of f,g,n;

where cov(f,g\circ T^n) is the correlation at time n\geq0, a bilinear form E\times F\to\mathbb R.

The second type seems stronger than the first (and it is strictly so for arbitrary families of bilinear forms). However the above two types are really equivalent under very general assumptions, i.e., if (i) E,F are Banach spaces and (ii) each (f,g)\mapsto cov(f,g\circ T^n) is continuous for any given n\geq0.

Indeed, fix f\in E.Let c_{f,n}:F\to\mathbb R be defined by c_{f,n}(g)=cov(f,g\circ T^n)/u_n. Each such map is linear and continuous by (ii). Now, for each g\in F, \sup_n \| c_{f,n}(g)\| \leq C(f,g)<\infty. Using (i), the Banach-Steinhaus theorem gives K_f<\infty such that \sup_n \| c_{f,n}(g)\| \leq K_f \|g\|. In other words, c_f:F\to\ell^\infty(\mathbb N), defined by c_f(g)=(c_{f,n}(g))_{n\geq0} is linear and continuous.

Similarly c^g:E\to\ell^\infty(\mathbb N) defined by c^g(f)=c_f(g) is linear and continuous. Now, for each f\in E, \sup_{g\in F(1)} \|c^g(f)\| \leq K_f where F(1) is the unit ball in F. Using (i), the Banach-Steinhaus theorem gives K_*<\infty such that \|c^g(f)\|\leq K_*\|f\| for all g\in F(1). But this implies the first type of decay above. CQFD.

This was pointed out to me by Sébastien GOUËZEL.

Added:

Jean-René CHAZOTTES points out that this is essentially Theorem B.1 of his paper joint with P. Collet and B. Schmitt: Statistical consequences of the Devroye inequality for processes. Applications to a class of non-uniformly hyperbolic dynamical systems. Nonlinearity 18 (2005).

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DEFINITION. A Bratteli diagram is a directed graph (V,E) with a distinguished vertex v_0 such that (i) any vertex v can be joined from v_0 by at least one path; (ii) such paths have all the same length called the level of v; (iii) there is a finite, non-zero number of arrows leaving each vertex.

Remark. Property (ii) is equivalent to the fact that there are parititions of the set of vertices V=\bigcup_{i\geq0} V_i and the set of arrows E=\bigcup_{i\geq0} E_i such that each arrow in $E_i$ goes from E_i to E_{i+1}.

DEFINITION. An order on a Bratelli diagram is the data, for each vertex v, of a total order on the set of all arrows pointing to v. A path is maximal, resp. minimal, if each of its arrows is maximal, resp. minimal, among the set of arrows with the same target. X_{max}, X_{min} will denote the set of maximal, minimal paths.

To each Bratelli diagram B is attached the set X_B of infinite path starting at v_0. As a subset of E_0\times E_1\times\dots, it is compact.

DEFINITION. A Vershik map (or adic transformation) for an ordered Bratelli diagram B is a homeomorphism \phi:X_B\to X_B with the following properties: (i) $latex \phi(X_{max})=X_{min}$; (iii) \phi(e_0,e_1,\dots) = (m_0,m_1,\dots,m_{k-1},e_k',e_{k+1},e_{k+2},\dots) where k is the smallest integer such that e_k is not maximal and e_k' is the arrow following e_k in the diagram order and m_0,m_1,\dots,m_{k-1} is the minimal path joining v_0 to the origin of e_k'.

Remark. Not all ordered Bratelli diagrams admit Vershik maps (K. Medynets). If the set $X_{max}$ has empty interior, then there is at most one Vershik map.

The recent preprint of S. Bezugly, J. Kwiatkowski, K. Medynets and B. Solomyak describe the invariant measures under a Borel version of the Vershik map

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