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Posts Tagged ‘ergodic theory’

Le théorème d’Ornstein (1970) est un des sommets de la théorie ergodique. C’est l’aboutissement des recherches initiées par Kolmogorov sur la classification des schémas de Bernoulli et le point de départ de résultats très généraux. Downarowicz et Serafin ont publié une élégante preuve de ce théorème difficile.

Rappelons l’énoncé du théorème (dans sa version la plus simple). Un décalage de Bernoulli \Sigma est un système dynamique probabiliste constitué de l’espace \{0,1,\dots,N\}^{\mathbb Z} muni de sa tribu borélienne et d’une mesure produit \mu_{p_0,p_1,\dots} \quad (p_n\geq0,\;\sum p_n=1) et du décalage \sigma:(s_n)_{n\in\mathbb Z}\mapsto (s_{n+1})_{n\in\mathbb Z}. Un isomorphisme entre systèmes dynamiques probabilistes (X_i,\mathcal B_i,\mu_i,\sigma_i),\; i=1,2 est une bijection \psi:X_1\to X_2 vérifiant \psi^{-1}(\mathcal B_2)=\mathcal B_1 et \psi\circ\sigma_1=\sigma_2\circ\psi.

Théorème (Ornstein 1970).  Deux décalages de Bernoulli \Sigma^{(i)},\; i=1,2 sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même entropie: H(p^{(1)}):=-\sum_n p_n^{(1)}\log p_n^{(1)} = H(p^{(2)}) (p^{(1)},p^{(2)} sont les vecteurs de probabilité définissant les deux décalages; 0\log 0 = 0 par convention).

La preuve de Downarowicz et Serafin utilise (comme d’autres approches avant eux) un argument de Baire sur les couplages.  L’ensemble des couplages est une partie fermée du compact des mesures boréliennes invariantes et de probabilité pour le produit (dans la topologie * faible – N<\infty). L’ensemble \mathcal E des couplages ergodiques est un G_\delta, donc encore un espace de Baire. L’énoncé principal de Downarowicz et Serafin est:

Théorème.  Soit \Sigma^{(i)},\; i=1,2 deux décalages de Bernoulli. Si H(p^{(1)}) = H(p^{(2)}) alors l’ensemble des facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)} est une partie générique de \mathcal E.

Le théoreme d’Ornstein s’en déduit immédiatement, l’intersection de deux parties génériques d’un espace de Baire étant générique et donc non-vide.

La partie générique du théorème est obtenue comme l’intersection des ouverts \mathcal F_\epsilon, l’ensemble des \epsilon-facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)}:  les couplages \xi tels que pour tout b\in\{0,1,\dots,N\}, il existe un borélien B tel que la différence symétrique entre \Sigma^{(1)}\times\{b\} et B\times \Sigma^{(2)} soit de \xi-mesure strictement inférieure à \epsilon.

Les \mathcal F_\epsilon,\;\epsilon>0 étant manifestement ouverts et emboîtés, il suffit de montrer que tout couplage ergodique \xi peut être approché par un élément de \mathcal F_\epsilon. Cette approximation se fait en deux étapes.

Etape 1. Construction d’un facteur \mu\to\nu' pour h(\nu')\sim h(\nu) (\mu:=\mu^{(1)},\nu:=\mu^{(2)})

Etape 2. Modification du facteur en un élément de \mathcal F_\epsilon.

 

 

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Renaud Leplaideur a exposé au groupe de travail de théorie ergodique ses tout derniers travaux avec H. Bruin, A.T. Baraviera et A.O. Lopes. Ils ont en particulier construit, pour tout 0<a<1, une application f_a:S^1\to S^1 de classe C^1 présentant une transition de phase et un compact K, invariant, uniquement ergodique et indifférent: (i) f_a'\geq 1; (ii) (f_a')^{-1}(1)=K; (iii) le potentiel - \log f_a' possède plusieurs mesures d’équilibre.

Ceci généralise l’exemple bien connu de Manneville-Pomeau. Plusieurs autres résultats suggèrent des liens entre cette non-unicité et une certaine invariance par renormalisation du potentiel, sans qu’il soit clair qu’il s’agisse là d’un phénomène général ou encore d’un analogue mathématique du lien entre phénomène critique et invariance par renormalisation établi et exploité par les physiciens théoriciens depuis Wilson et les années 1970.

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Frédéric Le Roux has written a very lucid exposition of the Alpern genericity theorem. This theorem states that the same ergodic properties are generic in the set Auto(T^d) of volume-preserving measurable transformations and in the set Homeo(T^d) of volume-preserving  homeomorphisms.

More precisely,  endow Auto(T^d)   with the weak topology, i.e., the coarsest generated by \mu\mapsto\mu(A), for all measurable subsets A and equip Homeo(T^d)  with the uniform distance.

The theorem considers any P\subset Auto(T^d)  invariant under volume-preserving measurable isomorphisms. It states that P  is a dense G_\delta subset of Auto(T^d) if and only if P\cap Homeo(T^d) is itself a dense G_\delta subset of Homeo(T^d).

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Kevin McGoff gave a talk at Orsay on his work on the theory of entropy srtuctures and symbolic extensions. This theory was founded by Mike Boyle and Tomasz Downarowicz, among others.

This theory relates the continuity properties of the measure-theoretic entropy function with the existence of symbolic topological extensions with measure-theoretic entropies as close as possible to those of the initial system. This theory ascribes to any topological dynamical system an order of accumulation. M. Boyle and T. Downarowicz have shown that this is a countable ordinal.

David Burguet and K. McGoff have shown that any countable ordinal can be achieved by some topological dynamics. The proof relies on a realization theorem of T. Downarowicz and S. Serafin.

K. McGoff explained how he was able, by a more precise and direct construction to achieve the same on any prescribed compact manifold. The transformation can be chosen to be homeomorphic if the dimension is 2 or more.

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Amie WILKINSON presented new results towards the Pugh-Shub Stable ergodicity conjecture. In particular, with A. AVILA and J. BOCHI, she proved that ergodicity is generic in C^1 partially hyperbolic symplectomorphisms. She noted that, by a result of SAGHIN and Z. XIA, a stably ergodic symplectomorphism is automatically partially hyperbolic (which fails for conservative diffeomorphisms by an example of A. TAHZIBI).

The ingredients of the proof are:

  • Bochi’s alternative: a symplectomorphism which is not Anosov has only zero exponents Lebesgue almost everywhere.
  • A new criterion for ergodicity and saturation for C^2 partially hyperbolic diffeomorphisms  involving a new, non-uniform variant of the center bunching property (used to prove that a set is simultaneously saturated wrt to the stable and unstable foliations)
  • A perturbation technique introduced by M.-C. ARNAUD in her proof of Mañé’s ergodic closing lemma
  • The ergodic  diffeomorphisms of the disk arbitrarily close to the identity, built by ANOSOV and KATOK
  • A Baire argument

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A classical theorem (Marstrand 1954) asserts that, given any Borel subset X\subset\mathbb R^d, the obvious inequality of the Hausdorff dimensions: \dim(\pi(X))\leq \min(k,\dim(X)) is in fact an equality for almost all orthogonal projections \pi:\mathbb R^d\to\mathbb R^k. As is often the case it is usually very dificult to prove equality for a given projection.

Preliminary description: Michael HOCHMAN and Pablo SCHMERKIN have posted a preprint presenting a new method for doing this. They actually deal with the stronger statement involving the dimension of measures. The key step is a lower semicontinuity property under an assumption of regularity (the process defined by zooming at typical points must be stationary). The classical a.e. result then yields an open and dense set, which can be controlled using invariance of the considered measures under large groups.

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