Measures of maximal entropy for surface diffeomorphisms

With Sylvain CROVISIER and Omri SARIG, we show that surface diffeomorphisms with positive topological entropy have at most finitely many ergodic measures of maximal entropy in general, and at most one in the topologically transitive case. This answers a question of Newhouse, who proved that such measures always exist.

To do this we generalize Smale’s spectral decomposition theorem to non-uniformly hyperbolic surface diffeomorphisms, we introduce homoclinic classes of measures, and we study their properties using codings by irreducible countable state Markov
shifts.

The preprint is on arxiv (you can also download the preprint here).

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Post-doc à Orsay en dynamique

Le projet ERC “Non uniform hyperbolicity in global dynamics” de Sylvain CROVISIER offre un post-doc sans obligation d’enseignement pour une durée de 2 ans à compter de septembre 2019. Candidature avant le 10 décembre prochain. Pour tout renseignement, cliquez ici.

The ERC project “Non uniform hyperbolicity in global dynamics” of Sylvain CROVISIER offers a postdoctoral position (no teaching duty) of a 2 year duration starting September 2019. Deadline for application: December 10th, 2018. For all inquiries, see here.

Soutenance de Silvère Gangloff

En dimension 1, les entropies des sous-décalages de type fini ont une caractérisation algébrique (théorème de Lind 1974: ce sont les multiples rationnels des logarithmes des nombres de Perron). En dimension supérieure, les entropies sont caractérisées en termes de calculabilité (théorème de Hochman et Meyerovitch 2010: ce sont les nombres semicalculables par le haut).

Dans sa thèse, Silvère Gangloff a étudié les liens précis entre la vitesse d’assemblage du décalage (une forme quantitative de mélange topologique) et les propriétés de calculabilité de son entropie. Il a notamment établi un phénomène de seuil

Théorème (S. Gangloff).  Considérons les sous-décalages décidables ayant la propriété d’assemblage à une certaine vitesse . Si   converge, alors les entropies sont calculables; sinon, toute valeur semicalculable par le haut est réalisée.

Dans la foulée de cette soutenance, son directeur, Mathieu Sablik, a organisé une journée sur l’entropie à laquelle j’ai participé.

On a marché sur la tête

Depuis quelques années, le CNRS et les universités ont recours à des marchés publics pour l’achat de billets de train, d’avion ou de nuitées. Je ne sais pas quel est l’objectif visé mais la conséquence en est plus de bureaucratie et plus de dépenses. Deux exemples récents:

J’ai cette année eu besoin d’un billet d’avion pour me rendre à une conférence internationale. J’ai  d’abord exploré les possibilités (horaires, durée, escale) et trouvé un vol raisonnable sur une plateforme grand public connue de tous. L’Etat a finalement payé 39% plus cher pour le même billet.

Je devais assister à un congrès national dans une grande ville de province. Une liste d’hôtels avait été préparée par les organisateurs. D’abord, aucune chambre n’était disponible à travers le marché. Puis, deux tentatives de réservation ont échoué (réception de l’hôtel fermant trop tôt; refus de l’hôtelier). A ce moment il est possible de demander l’autorisation de contourner le marché… Quand elle arrive, il ne reste plus de chambres disponibles… et j’ai dû annuler ma participation.

Ce type de gâchis et de gabegie ordinaire n’étonne personne. On m’a dit en substance: “c’est normal, il y a un marché”. La procédure permet à l’administration de se justifier quoiqu’il arrive et pour plus de sûreté, l’efficacité réelle n’est jamais évaluée.

 

 

 

Effectifs enseignants-chercheurs 1997-2017

Effectifs MCF et PR: à gauche, section 25 (mathématiques); à droite, section 26 (mathématiques appliquées et applications des mathématiques)

Source: Etudes statistiques du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche.

The Spectral Decomposition for Smooth Surface Diffeomorphisms

At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

 

Given some dynamics, say that if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a diffeomorphism of a closed surface, let be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: with and topologically transitive. More precisely, for each , there is a compact set and an integer such that is topologically mixing, , and if .

If is topologically transitive and , then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

 

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period ). See these slides for details.

“Facteurs de Bowen” à Quimper

A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).