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Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

  1. existence de plusieurs états d’équilibre;
  2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
  3. corrélations à longue portée;
  4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact X et une fonction réelle, continue et convexe P:C(X)\to\mathbb R (la pression) sur l’ensemble C(X) des fonctions réelles continues. Soit M(X) l’ensemble des probabilités boréliennes sur X muni de la topologie * faible. L’entropie E:M\to\mathbb R est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure m\in M, il y a équivalence entre:

  1. m maximise E(m)+m(f) (on dit que c’est un état d’équilibre pour f);
  2. m est une sous-différentielle de P en f: P(f+g)\leq P(f)+m(g) pour tout g\in C(x).

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en f si et seulement la mesure d’équilibre pour f est unique. On en déduit qu’une fonction f\in C(X) générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact X dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes h:M\to\mathbb R est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: P(f):=\sup\{h(m)+m(f):m\in M\}. On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. h(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) E(m)=\inf\{ P(f)-m(f): f\in C(X)\}.

(2) P(f)=\sup\{E(\mu)+\mu(f):\mu\in M\};

Ici (1) est la définition de E. (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) P(f)\geq E(\mu)+\mu(f), conséquence triviale de (1).

Si m est un état d’équilibre pour f, l’inégalité (2′) donne, pour tout g\in C(x),

P(f+g) \geq E(m)+m(f+g) \leq P(f)+m(g),

donc m est une sous-différentielle. Réciproquement, si m\in M est une sous-différentielle, alors, pour tout g\in C(X),

P(f) \leq P(f+g) - m(g) = P(f+g)-m(f+g)+m(f)

donc, vu (1),

P(f) \leq \inf\{P(k)-m(k):k\in C(X)\} + m(f) = E(m)+m(f).

On voit que m est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

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At the conference Beyond Uniform Hyperbolicity 2017 in Provo, I presented my joint work with S. Crovisier and T. Fisher about the entropy of C^1-diffeomorphisms with no dominated splitting. I tried to stress the questions it raises (and the partial answers we have obtained) about topological entropy.

Here are the slides. The papers are here and here.

Une journée d’hommage à Jean-Christophe Yoccoz, disparu le 3 septembre dernier, se tiendra au collège de France le jeudi 1er juin prochain.

Jean-Christophe au tableau

L’inscription n’est pas nécessaire, les exposés s’adresseront aux mathématiciens non nécessairement spécialistes de systèmes dynamiques.

With Sylvain Crovisier and Todd Fisher, we have just finished the paper Local perturbations of conservative C1-diffeomorphisms. It is now available on arxiv.

While studying the entropy of diffeomorphisms in this paper, we needed a number of lemmas for perturbing the dynamics of periodic orbits  with support contained in a small neighborhood and preserving given homoclinic relations. Such results were known in the dissipative setting (though some are quite recent, see Nicolas Gourmelon‘s work).  However,  the conservative (i.e., volume-preserving or symplectic) versions were often weaker or even lacking. The new preprint fills this gap.

Le carnet de Rufus Bowen

Rufus Bowen, mort en 1975 à l’âge de 31 ans, a laissé un carnet contenant 157 problèmes mathématiques. A l’occasion de la conférence “Rufus Bowen”, Brian Marcus a organisé sa publication commentée sur un site web permettant à chacun de le feuilleter et surtout de contribuer.

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Le 21 novembre dernier Thomas Fernique a défendu son habilitation à diriger des recherches au Laboratoire d’Information de Paris-Nord. Il étudie les pavages et tout particulièrement les pavages ordonnées et apériodiques, modélisant les célèbres quasi-cristaux découverts dans les années 1980. Ses travaux explorent les liens entre différentes classes naturelles de tels systèmes dynamiques multidimensionnels (ie, définis par une action de R^d, d\geq 1): pavages sofiques et substitutifs; pavages planaires vs. sofiques ou de type fini; pavages obtenus par recuit.

L’exposé était suivi d’un pot agrémenté d’un pavage de Penrose (pavage défini par un plan plongé dans R^5) en chocolats blancs et noirs, digne suite d’une autre réalisation à découvrir ici.

Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.