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In a recent paper, M. Andersson and C. Vasquez have introduced a new and useful estimate related to Pliss Lemma (see previous blog entry for its statement together with a proof).  One considers some real numbers a_1,\dots,a_N such that for some reals B<\alpha and 0\leq\kappa\leq1:

  • a_k\geq B;
  • |\{1\leq k\leq N:a_k\geq \alpha\}|\geq (1-\kappa)N.

In contrast to Pliss Lemma, one assumes a lower bound (instead of an upper bound) and a high frequency of  large values (instead of just a large average). Andersson and Vasquez then show that the fraction of Pliss times can be made large by taking \kappa is sufficient small.

Lemma (Andersson-Vasquez). Given B\leq \beta<\alpha, the fraction of Pliss times, i.e.,  k such that

\forall 1\leq\ell\leq k\quad \frac1{k-\ell+1}(a_\ell+\dots+a_k) \geq \beta\qquad (*)

among 1,\dots,N is at least 1-\kappa\frac{\alpha-B}{\alpha-\beta}.

In this situation, we say that \beta is the target average.

Note that this lower bound is close to 1 when \kappa is small whereas  in Pliss Lemma this only occurs when \alpha\approx A.

Andersson and Vasquez provide a direct proof. Here we deduce it as a corollary of Pliss Lemma.

Proof. Let a'_k=1 if a'_k\geq\alpha, a'_k=0 otherwise. We apply Pliss Lemma to this sequence with upper bound 1 and average 1-\kappa. We get Pliss times with respect to the target average 1-(\alpha-\beta)/(\alpha-B) occupying a fraction 1-\kappa\frac{\alpha-B}{\beta-B}. To conclude note that if k is such a Pliss time, then the average of a along all intervals [\ell,k] is at least \beta. \square

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Pliss’ lemma is a simple but very useful tool of nonuniformly hyperbolic dynamics. It is about finite sequences of real numbers a_1,\dots,a_N (N\geq1). Assume that:

\tfrac1N(a_1+\dots+a_N) \geq \alpha for some \alpha (the average is good).

Fix \beta<\alpha. Say that an (integer) interval I\subset\{1,\dots,N\} is bad if \tfrac1{|I|}\sum_{i\in I} a_i<\beta. Otherwise the interval is called good. An index 1\leq k\leq n is Pliss if all subintervals [\ell,k] for 1\leq \ell\leq k are good.

Lemma (Pliss). If A\geq \max(a_1,\dots,a_N) then there are at least \frac{\alpha-\beta}{A-\beta} N Pliss indices among \{1,\dots,N\}.

Note: the same bound holds for the trivial estimate:

|\{1\leq k\leq N: a_k\geq\beta\}| > \frac{\alpha-\beta}{A-\beta} N

 

Here is a proof, modeled after Kamae’s proof of the ergodic theorem.

For each non-Pliss index k define 1\leq \ell(k)\leq k to be the largest integer such [\ell,k] is bad. Let B\subset\{1,\dots,N\} be the set of non-Pliss indices and let \hat B:=\bigcup_{k\in B} [\ell(k),k]. Clearly B\subset \hat B. We can assume that B\ne\emptyset since otherwise there is nothing to show.

Claim. The intervals appearing in the above union are disjoint or nested.

Indeed, take two intersecting intervals, i.e., k,k'\in B such that k<k' and \ell(k)\leq \ell(k')\leq k. Note that [k+1,k'] is good by maximality of \ell(k'). Since [\ell(k'),k'] is bad, this implies that [\ell(k'),k] is bad. The maximality of \ell(k) implies that \ell(k)\geq \ell(k'), proving the claim.

It follows that B can be written as the disjoint bad intervals. Therefore \tfrac1{|B|}\sum_{k\in B} a_k<\beta. This yields:

\alpha N \leq \sum_{k\in B} a_i+\sum_{k\in[1,N]\setminus B} a_i \leq \beta|B| + (N-|B|)A

A direct computation then concludes the proof of the lemma.

L’an prochain, je proposerai un cours de M2 avancé sur la dynamique non-uniformément hyperbolique.

 

Résumé: Etant donné un système dynamique, on aimerait pouvoir le décomposer en
pièces irréductibles qui soient essentiellement en nombre fini et sur
chacune desquelles on puisse analyser finement la dynamique, par
exemple en établissant la conjugaison avec une dynamique modèle qui
permette d’en comprendre les mesures invariantes.

Dans les années 1970s ce programme a été accompli pour les
difféomorphismes uniformément hyperboliques introduits par Anosov et
Smalet grâce aux travaux de Sinai, Ruelle et Bowen, entre autres.

L’objectif du cours sera de comprendre les outils qui ont récemment
permis la généralisation de ces résultats aux difféomorphismes de
surfaces en grande régularité lorsqu’on néglige les mesures d’entropie
nulle. On démontrera notamment la conjecture de Newhouse (1990)
suivante:

Théorème (Buzzi, Crovisier, Sarig).
Soit f un difféomorphisme de classe C^infini d’une surface compacte.
Si l’entropie topologique de f est strictement positive, alors f
possède un nombre fini de mesures de probabilité invariantes et
ergodiques maximisant l’entropie.

La preuve fera intervenir différents outils qu’on introduira dans les
cadres les plus simples:
– théorie de Yomdin de l’entropie locale;
– théorie de Pesin des mesures non-uniformément hyperboliques;
– codage par décalages de Markov de Sarig.

Références:

A. Katok, B. Hasselblatt. An introduction to the modern theory of
dynamical systems, CUP, 1995 (en particulier le supplément)

J. Buzzi, S. Crovisier, O. Sarig,  Measures of maximal entropy for
surface diffeomorphisms. . arXiv:1811.02240

Y. Yomdin, Volume growth and entropy, . Israel J. Math. 57 (1987),
no. 3, 285–300.

O. Sarig,  Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with
positive entropy. J. Amer. Math. Soc. 26 (2013), no. 2, 341–426.

Dans le cadre de l’ANR ISDEEC, Matthieu Léautaud et Stéphane Nonnenmacher organisent un workshop “Dynamique de flots géodésiques et applications aux EDP” les 3 et 4 avril 2019 à l’École polytechnique.

Orateurs :

Nalini Anantharaman (Strasbourg, à confirmer),
Abed Bounemoura (Dauphine),
Frédéric Faure (Grenoble),
Maxime Ingremeau (Nice),
Guillaume Klein (Strasbourg),
Carlos Matheus (Ecole Polytechnique),
Barbara Schapira (Rennes),
Emmanuel Schenck (Villetaneuse).

page web : http://www.mathconf.org/isdeec2019

Si vous souhaitez participer, il faut s’inscrire sur le site web (gratuit mais obligatoire).

Si vous souhaitez un financement et êtes membre de l’ANR ISDEEC: contactez Romain Joly si vous venez de la province ou contactez Jérôme Buzzi pour les parisiens. L’ANR ISDEEC peut financer la venue des jeunes chercheurs si besoin.

Le 18 janvier, j’ai présenté au séminaire de dynamique de l’Institut Mathématique de Jussieu un nouvel aspect du travail accompli avec Sylvain CROVISIER et Omri SARIG. Nous obtenons l’unicité de l’état d’équilibre pour un potentiel régulier dès qu’on se restreint aux mesures ergodiques hyperboliques et à une classe homocline mesurée. Ceci s’applique aux difféomorphismes C^{1+} de variétés compactes avec un potentiel Hölder-continu ou bien géométrique.

Les journées de dynamique P6-P7 sont dédiées à la mémoire d’Anatole KATOK.

Orateurs: C. Liverani, M. Pollicott, F. Naud, C. Ulcigrai, A. Kanigowski, E. Le Masson, M. Berti, J. Buzzi, F. Rodriguez-Hertz, D. Thomine, D. Turaev

Jeudi 6 décembre à 14h00  au samedi 8 décembre 12h30

Amphithéâtre Turing – Bâtiment Sophie Germain – Univ. Paris 7

 

Postdoc Hadamard

La Fondation Mathématiques Jacques Hadamard et le Laboratoire Mathématique Hadamard proposent 7 positions post-doctorales. Date limite: le 2 décembre prochain.