The Spectral Decomposition for Smooth Surface Diffeomorphisms

At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

 

Given some dynamics, say that if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a diffeomorphism of a closed surface, let be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: with and topologically transitive. More precisely, for each , there is a compact set and an integer such that is topologically mixing, , and if .

If is topologically transitive and , then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

 

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period ). See these slides for details.

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“Facteurs de Bowen” à Quimper

A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

“Master class” d’analyse, 15-19 janvier 2018

L’IRMA (Strasbourg) organise du 15 au 19 janvier 2018 une “Master class” pour présenter certaines thématiques en Analyse, autour des équations aux dérivées partielles, de la théorie du contrôle et de la physique mathématique. Elle s’adresse aux étudiants de M1, et peut intéresser également les étudiants de M2 ou prépa-agreg, ainsi que les doctorants.

Organisateurs : Nalini Ananthamaran et Raphaël Côte (IRMA Strasbourg)

Orateurs :
 Jean-Michel Coron (Université Pierre et Marie Curie)
 David Dos Santos Ferreira (Université de Nancy)
 Isabelle Gallagher (École normale supérieure)
 Geneviève Raugel (Université Paris Sud)

Des informations supplémentaires concernant notamment le programme, les possibilités de financements, et l’inscription, gratuite mais obligatoire, sont disponibles à cette adresse.

Post-doctorat ISDEEC

Un post-doctorat de deux ans est mis au concours dans le cadre du projet ISDEEC sur les interactions entre systèmes dynamiques, équations d’évolution et contrôle. Le contrat débutera a priori en octobre 2018. Les candidatures doivent être déposées avant la mi-décembre 2017. Voir cette page pour plus d’information.

A two year postdoc is offered by the ISDEEC project on the interplay between dynamics, evolution equations and control theory. The contract would start around October 2018. Candidates must apply before mid-December 2017. See this page for more information.

Pression topologique, différentiabilité et états d’équilibre

Le concept physique de “transition de phase” associe plusieurs phénomènes, notamment:

1. existence de plusieurs états d’équilibre;
2. non-différentiabilité du potentiel thermodynamique;
3. corrélations à longue portée;
4. fluctuations non gaussiennes.

L’équivalence des propriétés (1) et (2) est facilement obtenue dans le cadre du formalisme thermodynamique. C’est un résultat classique (je l’ai appris dans le livre Thermodynamical formalism de D. Ruelle – voir son théorème 6.14) et d’une grande généralité, qui devrait à mon avis être davantage connu.

Cadre abstrait. On se donne  un espace métrique compact et une fonction réelle, continue et convexe (la pression) sur l’ensemble des fonctions réelles continues. Soit l’ensemble des probabilités boréliennes sur muni de la topologie * faible. L’entropie est définie dans ce cadre comme la transformée de Fenchel-Legendre:

.

On a alors:

Théorème. Pour une mesure , il y a équivalence entre:

1. maximise (on dit que c’est un état d’équilibre pour );
2. est une sous-différentielle de en : pour tout .

En particulier, la pression est Gâteaux-différentiable en si et seulement la mesure d’équilibre pour est unique. On en déduit qu’une fonction générique au sens de Baire définit un unique état d’équilibre.

Application: toute action continue sur un espace métrique compact dont la fonction entropie de Kolmogorov-Sinaï sur l’ensemble des mesures de probabilité invariantes est semicontinue supérieurement pour la topologie * faible.

La pression topologique est: . On vérifie qu’elle est bien convexe et continue puis le principe variationnel suivant permet d’appliquer le théorème.

Lemme. .

Preuve du théorème. Elle repose sur les deux principes variationnels:

(1) .

(2) ;

Ici (1) est la définition de . (2) est une version du théorème de dualité  de Fenchel-Moreau. On n’utilise en fait que l’inégalité (2′) , conséquence triviale de (1).

Si est un état d’équilibre pour , l’inégalité (2′) donne, pour tout ,

,

donc est une sous-différentielle. Réciproquement, si est une sous-différentielle, alors, pour tout ,

donc, vu (1),

.

On voit que est bien un état d’équilibre. Les deux dernières assertions découlent des propriétés des fonctions convexes.

Entropy for C^1-diffeos without domination

At the conference Beyond Uniform Hyperbolicity 2017 in Provo, I presented my joint work with S. Crovisier and T. Fisher about the entropy of C^1-diffeomorphisms with no dominated splitting. I tried to stress the questions it raises (and the partial answers we have obtained) about topological entropy.

Here are the slides. The papers are here and here.

Hommage à Jean-Christophe YOCCOZ

Une journée d’hommage à Jean-Christophe Yoccoz, disparu le 3 septembre dernier, se tiendra au collège de France le jeudi 1er juin prochain.

L’inscription n’est pas nécessaire, les exposés s’adresseront aux mathématiciens non nécessairement spécialistes de systèmes dynamiques.