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At the conference Thermodynamic Formalism: Modern Techniques in Smooth Ergodic Theory, I gave a talk on the local uniqueness result we obtained with Sylvain Crovisier and Omri Sarig. The slides are here. The main theorem appeared in this preprint (section 1.6).

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Voici, établi à partir des données d’ “Opération postes“, l’évolution du nombre de postes de Maîtres de Conférences mis au concours en sections 25 et 26 du CNU:

 

nombreMCF

Exemple de lecture: en 2019, il y avait 66 postes de MCF mis au concours répartis entre:

  • 19 en section 25
  • 6 en section 25 ou 26
  • 41 en section 26

La moyenne des trois dernières années  (62,6 postes) est inférieure à la moitié de la moyenne des six années 2006-2011 (139 postes).

 

In a recent paper, M. Andersson and C. Vasquez have introduced a new and useful estimate related to Pliss Lemma (see previous blog entry for its statement together with a proof).  One considers some real numbers a_1,\dots,a_N such that for some reals B<\alpha and 0\leq\kappa\leq1:

  • a_k\geq B;
  • |\{1\leq k\leq N:a_k\geq \alpha\}|\geq (1-\kappa)N.

In contrast to Pliss Lemma, one assumes a lower bound (instead of an upper bound) and a high frequency of  large values (instead of just a large average). Andersson and Vasquez then show that the fraction of Pliss times can be made large by taking \kappa is sufficient small.

Lemma (Andersson-Vasquez). Given B\leq \beta<\alpha, the fraction of Pliss times, i.e.,  k such that

\forall 1\leq\ell\leq k\quad \frac1{k-\ell+1}(a_\ell+\dots+a_k) \geq \beta\qquad (*)

among 1,\dots,N is at least 1-\kappa\frac{\alpha-B}{\alpha-\beta}.

In this situation, we say that \beta is the target average.

Note that this lower bound is close to 1 when \kappa is small whereas  in Pliss Lemma this only occurs when \alpha\approx A.

Andersson and Vasquez provide a direct proof. Here we deduce it as a corollary of Pliss Lemma.

Proof. Obviously we can assume that

(*) 1-\kappa\frac{\alpha-B}{\alpha-\beta}>0.

Let a'_k=1 if a_k\geq\alpha, a'_k=0 otherwise. We apply Pliss Lemma to this sequence with upper bound A'=1, average \alpha'=1-\kappa and target average \beta'=\frac{\beta-B}{\alpha-B}. The required inequality \beta'<\alpha' is equivalent to \kappa(1-\beta')^{-1}<1 which follows from (*). We obtain a fraction \frac{\alpha'-\beta'}{A'-\beta'}=1-\kappa\frac{\alpha-B}{\alpha-\beta} of Pliss times. To conclude note that if k is such a Pliss time, then the average of a along all intervals [\ell,k] is at least \beta=\beta'\alpha+(1-\beta')B. \square

Pliss’ lemma is a simple combinatorial tool very useful for nonuniformly hyperbolic dynamics. It is about finite sequences of real numbers a_1,\dots,a_N (N\geq1). Assume that:

\tfrac1N(a_1+\dots+a_N) \geq \alpha for some \alpha (the average is good).

Fix \beta<\alpha. Say that an (integer) interval I\subset\{1,\dots,N\} is bad if \tfrac1{|I|}\sum_{i\in I} a_i<\beta. Otherwise the interval is called good. An index 1\leq k\leq n is Pliss if all subintervals [\ell,k] for 1\leq \ell\leq k are good.

Lemma (Pliss). If A\geq \max(a_1,\dots,a_N) then there are at least \frac{\alpha-\beta}{A-\beta} N Pliss indices among \{1,\dots,N\}.

Note: the same bound holds for the trivial estimate:

|\{1\leq k\leq N: a_k\geq\beta\}| > \frac{\alpha-\beta}{A-\beta} N

 

Here is a proof, modeled after Kamae’s proof of the ergodic theorem.

For each non-Pliss index k define 1\leq \ell(k)\leq k to be the largest integer such [\ell,k] is bad. Let B\subset\{1,\dots,N\} be the set of non-Pliss indices and let \hat B:=\bigcup_{k\in B} [\ell(k),k]. Clearly B\subset \hat B. We can assume that B\ne\emptyset since otherwise there is nothing to show.

Claim. The intervals appearing in the above union are disjoint or nested.

Indeed, take two intersecting intervals, i.e., k,k'\in B such that k<k' and \ell(k)\leq \ell(k')\leq k. Note that [k+1,k'] is good by maximality of \ell(k'). Since [\ell(k'),k'] is bad, this implies that [\ell(k'),k] is bad. The maximality of \ell(k) implies that \ell(k)\geq \ell(k'), proving the claim.

It follows that \hat B can be written as the disjoint bad intervals. Therefore \tfrac1{|\hat B|}\sum_{k\in \hat B} a_k<\beta. This yields:

\alpha N \leq \sum_{k\in \hat B} a_i+\sum_{k\in[1,N]\setminus \hat B} a_i \leq \beta|\hat B| + (N-|\hat B|)A

A direct computation then concludes the proof of the lemma. QED

 

Pliss Lemma generalizes to infinite sequences, say (\alpha_n)_{n\geq1}. For backward Pliss indices, i.e., k\geq1 such that the intervals [\ell,k] are good for all 1\leq\ell\leq k,  it is enough to apply the previous, finitary version to intervals [1,N].

Lemma (Pliss, backward, infinite version). Let \alpha:=\liminf_N \frac1N(a_1+\dots+a_N) and let A:=\sup_{n\geq1} A_n. Given any \beta<\alpha, the lower density of backward Pliss times for parameter \beta is at least \frac{\alpha-\beta}{A-\beta}.

Forward Pliss times are a bit more delicate since an index 1\leq k\leq N can be forward Pliss for (a_1,\dots,a_N) but not for (a_1,\dots,a_M) for some M>N. Given k\geq1 which is not forward Pliss, let \ell(k) be the smallest integer \ell\geq k such that [k,\ell(k)] is bad. As before, the intervals [k,\ell(k)] (k\geq1) are disjoint or nested.  Setting \hat N:=\sup_{k\leq N} \ell(k), note that for each k\leq\hat N, \ell(k)\leq\hat N. Thus, we can estimate the number of forward Pliss times in [1,\hat N-1] by the finitary Pliss Lemma and obtain:

Lemma (Pliss, forward, infinite version). Let \alpha:=\liminf_N \tfrac1N(a_1+\dots+a_N) and let A:=\sup_{n\geq1} A_n. Given any \beta<\alpha, the upper density of backward Pliss times for parameter \beta is at least \frac{\alpha-\beta}{A-\beta}.

One can combine the two to obtain:

Lemma (Pliss, backward, bi-infinite version). Let \alpha=\min(\liminf_{N} \tfrac1{N}(a_{-N}+\dots+a_{-1}), \limsup_N\tfrac1N(a_1+\dots+a_N) and let A:=\sup_{n\in\mathbf Z} A_n. Given any \beta<\alpha, the upper density of backward Pliss times for parameter \beta is at least \frac{\alpha-\beta}{A-\beta}.

Note: the upper density of S\subset \mathbf Z is \limsup_{N,M\to\infty} \tfrac1{M+N+1}(a_{-M}+\dots+a_N).

L’an prochain, je proposerai un cours de M2 avancé sur la dynamique non-uniformément hyperbolique.

 

Résumé: Etant donné un système dynamique, on aimerait pouvoir le décomposer en
pièces irréductibles qui soient essentiellement en nombre fini et sur
chacune desquelles on puisse analyser finement la dynamique, par
exemple en établissant la conjugaison avec une dynamique modèle qui
permette d’en comprendre les mesures invariantes.

Dans les années 1970s ce programme a été accompli pour les
difféomorphismes uniformément hyperboliques introduits par Anosov et
Smalet grâce aux travaux de Sinai, Ruelle et Bowen, entre autres.

L’objectif du cours sera de comprendre les outils qui ont récemment
permis la généralisation de ces résultats aux difféomorphismes de
surfaces en grande régularité lorsqu’on néglige les mesures d’entropie
nulle. On démontrera notamment la conjecture de Newhouse (1990)
suivante:

Théorème (Buzzi, Crovisier, Sarig).
Soit f un difféomorphisme de classe C^infini d’une surface compacte.
Si l’entropie topologique de f est strictement positive, alors f
possède un nombre fini de mesures de probabilité invariantes et
ergodiques maximisant l’entropie.

La preuve fera intervenir différents outils qu’on introduira dans les
cadres les plus simples:
– théorie de Yomdin de l’entropie locale;
– théorie de Pesin des mesures non-uniformément hyperboliques;
– codage par décalages de Markov de Sarig.

Références:

A. Katok, B. Hasselblatt. An introduction to the modern theory of
dynamical systems, CUP, 1995 (en particulier le supplément)

J. Buzzi, S. Crovisier, O. Sarig,  Measures of maximal entropy for
surface diffeomorphisms. . arXiv:1811.02240

Y. Yomdin, Volume growth and entropy, . Israel J. Math. 57 (1987),
no. 3, 285–300.

O. Sarig,  Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with
positive entropy. J. Amer. Math. Soc. 26 (2013), no. 2, 341–426.

Dans le cadre de l’ANR ISDEEC, Matthieu Léautaud et Stéphane Nonnenmacher organisent un workshop “Dynamique de flots géodésiques et applications aux EDP” les 3 et 4 avril 2019 à l’École polytechnique.

Orateurs :

Nalini Anantharaman (Strasbourg, à confirmer),
Abed Bounemoura (Dauphine),
Frédéric Faure (Grenoble),
Maxime Ingremeau (Nice),
Guillaume Klein (Strasbourg),
Carlos Matheus (Ecole Polytechnique),
Barbara Schapira (Rennes),
Emmanuel Schenck (Villetaneuse).

page web : http://www.mathconf.org/isdeec2019

Si vous souhaitez participer, il faut s’inscrire sur le site web (gratuit mais obligatoire).

Si vous souhaitez un financement et êtes membre de l’ANR ISDEEC: contactez Romain Joly si vous venez de la province ou contactez Jérôme Buzzi pour les parisiens. L’ANR ISDEEC peut financer la venue des jeunes chercheurs si besoin.

Le 18 janvier, j’ai présenté au séminaire de dynamique de l’Institut Mathématique de Jussieu un nouvel aspect du travail accompli avec Sylvain CROVISIER et Omri SARIG. Nous obtenons l’unicité de l’état d’équilibre pour un potentiel régulier dès qu’on se restreint aux mesures ergodiques hyperboliques et à une classe homocline mesurée. Ceci s’applique aux difféomorphismes C^{1+} de variétés compactes avec un potentiel Hölder-continu ou bien géométrique.