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On sait qu’une mesure de probabilité \mu invariante et ergodique par un flot (f^t)_{t\in\mathbb R} peut admettre une  décomposition ergodique \mu=\int \mu_x\, d\mu non triviale par rapport à f:=f^1. On a cependant:

presque toutes les composantes ergodiques \mu_x sont les images les unes des autres par le flot .

Voici une (esquisse de) preuve (inspirée par le lemme 2.15 du preprint suivant). Il doit s’agir d’un fait classique – je suis demandeur d’une référence, merci de me la signaler par email ou en commentaire.

La mesure \mu étant invariante par le flot,

\mu = \int_0^1 f^t_*\mu\, dt = \int_0^1 f^t_*\left(\int \mu_x\, d\mu\right) \, dt= \int \left(\int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt\right)\, d\mu

Or presque toute mesure \int_0^1 f^s_*\mu_x\, dt est invariante par le flot donc égale à la mesure initiale \mu, celle-ci étant ergodique. Par conséquent, pour tout x\in Y, une partie de mesure 1,  on a:

(1) \mu = \int_0^1 f^t_*\mu_x\, dt

Notons que chaque f^t_*\mu_x est ergodique (pour f), cette propriété étant invariante par conjugaison. L’égalité (1) est donc une décomposition ergodique. Par unicité de celle-ci:pour tous x,y\in Y, \mu_y=f^t_*\mu_x pour un t\in[0,1]. CQFD.

En particulier, presque toutes les composantes ergodiques ont la même entropie, égale à celle de la mesure initiale \mu.

Soit un système dynamique probabiliste (X,T,m) et deux espaces de Banach de fonctions à valeurs complexes sur X: \mathcal A,\mathcal B. Supposons que pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et tout n\geq 0, c_n(f,g):=\int_X f\circ T^n\cdot \overline{g}\, dm-\int_X f\, dm\int_X \overline{g}\, dm est bien défini et qu’il y a décroissance exponentielle des corrélations: il existe 0<\kappa<1 tel que, pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B,

(1) \forall n\geq0\quad |c_n(f,g)|\leq  C(f,g)\cdot\kappa^n avec  C(f,g)<\infty.

(énoncé souvent obtenu, voir par exemple le théorème 3 de cet article de Lai-Sang Young). Chazottes, Collet et Schmitt dans cet article ont remarqué que des hypothèses très faibles qu’ici on simplifira en:

(2) Pour tout n\geq0\sup_{\|f\|,\|g\|\leq1} |c_n(f,g)|<\infty

permettent de remplacer la majoration C(f,g) par un simple produit  C\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Ceci découle presqu’immédiatement de la formulation suivante du théorème de Banach-Steinhaus qu’on applique à la famille d’opérateurs bilinéaires et continus b_i(f,g):=\kappa^{-n}c_i(f,g) avec I=\mathbb N et \mathcal C:=\mathbb C.

Proposition. Soit \mathcal A,\mathcal B des espaces de Banach et \mathcal C un espace vectoriel normé. Soit b_i:\mathcal A\times\mathcal B\to\mathcal C, i\in I, une famille d’opérateurs bilinéaires et continus. Supposons:

(3) \forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; C(f,g):=\sup_{i\in I} \|b_i(f,g)\|<\infty

Alors il existe une constante K<\infty telle que

(4) \forall i\in I\;\forall f\in\mathcal A,g\in\mathcal B\; \|b_i(f,g)\| \leq K\cdot\|f\|\cdot\|g\|.

Cette formulation se montre en appliquant deux fois le théorème de Banach-Steinhaus standard (pour les opérateurs linéaires).

Preuve. Pour uniformiser la dépendance en  g, introduisons les opérateurs linéaires b_i^f:\mathcal B\to\mathcal C, b_i^f(g):=b_i(f,g). Ils sont continus avec  \|b_i^f\|\leq \|b_i\|\cdot\|f\|, et, pour tout g\in\mathcal B, \sup_{i\in I} \|b_i^f(g)\|\leq C(f,g)<\infty. Une première application de Banach-Steinhaus (à f fixé) donne K(f):=\sup_{i\in I} \|b_i^f\|<\infty.

Introduisons maintenant les opérateurs linéaires B_i:\mathcal A\to L(\mathcal B,\mathcal C) définis par B_i(f):=b_i^f. Ils sont continus avec \|B_i\|= \|b_i\| et, pour tout f\in\mathcal A, \sup_{i\in I} \|B_i(f)\|\leq K(f)<\infty. Une deuxième application de Banach-Steinhaus donne K:=\sup_{i\in I}\|B_i\|<\infty.

Finalement, on a obtenu: pour tous f\in\mathcal A,g\in\mathcal B et i\in I\|b_i(f,g)\|=\|B_i(f)(g)\|\leq K\|f\|\cdot\|g\|. CQFD.

 

 

Felipe Riquelme vient de soutenir sa thèse à Rennes sous la direction de Barbara Schapira. Il y a examiné les résultats classiques de la théorie de l’entropie pour les diffeomorphismes en l’absence de compacité. Il obtient dans ce cadre:

  • Des contre-exemples à l’inégalité de Ruelle comme suspensions d’échanges d’intervalles (dénombrable) vérifiant pourtant la condition d’intégrabilité d’Oseledets;
  • La généralisation de cette inégalité ainsi que du cas d’égalité (Pesin, Ledrappier-Young) pour le flot géodésique sur les surfaces complètes à courbures sectionnelles négatives pincées et de dérivées bornées.

Il a également étudié la perte de masse et montré que celle-ci peut être contrôlée par l’entropie à l’infini pour certaines variétés de type Schottky. 

In a joint work with Sylvain Crovisier and Todd Fisher, we strengthen Newhouse’s construction of horseshoes from homoclinic tangencies. We obtain an entropy arbitrarily close to Ruelle’s bound: the sum of the positive exponents (or the same for the inverse, whichever is smaller). 

Our perturbations are local, preserve a pre existing volume or symplectic form and homoclinic connection, building on works of Gourmelon and Bochi-Bonatti among others. 

A number of consequences follows. 

For instance, C1-generic conservative diffeomorphisms without domination have no measure of maximal entropy and are Borel conjugate to a Markov shifts (up to periodic points). Theit topological entropy is nowhere locally constant and there is a generalization of the entropy formula obtained by Catalan and Tahzibi in dimension 2. 

We also obtain a nonempty open set of C1-diffeomorphisms which generically have infinitely many homoclinic classes with topological entropy bounded away from zero. 

You can read it all here!

I presented how surface diffeomorphisms are Borel conjugate to Markov shifts up to zero entropy measures (joint work with Mike Boyle). I stressed the soft part of the result that applies to higher dimensional diffeomorphisms with hyperbolic measures but neglects the measures maximizing the entropy at their period.

The spectral decomposition recently obtained with Sylvain Crovisier and Omri Sarig  shows that the C infinity surface diffeos are completely classified by their measures maximizing the entropy at their periods.

 

(revised slides)

 

My talk presented the result with Crovisier and Sarig about the measures maximizing the entropy. I used slides (revised version) for the first part of the seminar and then explained the decay of the entropy along sequences of non-homoclinically related measures on the blackboard.