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En dimension 1, les entropies des sous-décalages de type fini ont une caractérisation algébrique (théorème de Lind 1974: ce sont les multiples rationnels des logarithmes des nombres de Perron). En dimension supérieure, les entropies sont caractérisées en termes de calculabilité (théorème de Hochman et Meyerovitch 2010: ce sont les nombres semicalculables par le haut).

Dans sa thèse, Silvère Gangloff a étudié les liens précis entre la vitesse d’assemblage f(n) du décalage (une forme quantitative de mélange topologique) et les propriétés de calculabilité de son entropie. Il a notamment établi un phénomène de seuil

Théorème (S. Gangloff).  Considérons les sous-décalages décidables ayant la propriété d’assemblage à une certaine vitesse f:\mathbb N\to \mathbb N. Si \sum_{n\geq1} f(n)/n^2  converge, alors les entropies sont calculables; sinon, toute valeur semicalculable par le haut est réalisée.

Dans la foulée de cette soutenance, son directeur, Mathieu Sablik, a organisé une journée sur l’entropie à laquelle j’ai participé.

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Depuis quelques années, le CNRS et les universités ont recours à des marchés publics pour l’achat de billets de train, d’avion ou de nuitées. Je ne sais pas quel est l’objectif visé mais la conséquence en est plus de bureaucratie et plus de dépenses. Deux exemples récents:

J’ai cette année eu besoin d’un billet d’avion pour me rendre à une conférence internationale. J’ai  d’abord exploré les possibilités (horaires, durée, escale) et trouvé un vol raisonnable sur une plateforme grand public connue de tous. L’Etat a finalement payé 39% plus cher pour le même billet.

Je devais assister à un congrès national dans une grande ville de province. Une liste d’hôtels avait été préparée par les organisateurs. D’abord, aucune chambre n’était disponible à travers le marché. Puis, deux tentatives de réservation ont échoué (réception de l’hôtel fermant trop tôt; refus de l’hôtelier). A ce moment il est possible de demander l’autorisation de contourner le marché… Quand elle arrive, il ne reste plus de chambres disponibles… et j’ai dû annuler ma participation.

Ce type de gâchis et de gabegie ordinaire n’étonne personne. On m’a dit en substance: “c’est normal, il y a un marché”. La procédure permet à l’administration de se justifier quoiqu’il arrive et pour plus de sûreté, l’efficacité réelle n’est jamais évaluée.

 

 

 

Effectifs MCF et PR: à gauche, section 25 (mathématiques); à droite, section 26 (mathématiques appliquées et applications des mathématiques)

Source: Etudes statistiques du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche.

At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

 

Given some dynamics, say that X\equiv Y if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a C^\infty diffeomorphism of a closed surface, let \{H(O_i)\}_{i\in I} be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: \Omega(f) \equiv \bigcup_{i\in I} H(O_i) with H(O_i)\cap H(O_j)\equiv\emptyset and f:H(O_i)\to H(O_i) topologically transitive. More precisely, for each i\in I, there is a compact set A_i and an integer _i\geq1 such that f^{p_i}:A_i\to A_i is topologically mixing, H(O_i)=\bigcup_{j=0}^{p_i-1} f^j(A_i), A_i=f^{p_i}(A_i) and f^{-j}(A_i)\cap f^{-k}A_i\equiv\emptyset if 0\leq j<k<p_i.

If f|\Omega(f) is topologically transitive and h_{{\rm top}}(f)>0, then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, f|\Omega(f) is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

 

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period p_i). See these slides for details.

A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

L’IRMA (Strasbourg) organise du 15 au 19 janvier 2018 une “Master class” pour présenter certaines thématiques en Analyse, autour des équations aux dérivées partielles, de la théorie du contrôle et de la physique mathématique. Elle s’adresse aux étudiants de M1, et peut intéresser également les étudiants de M2 ou prépa-agreg, ainsi que les doctorants.

Organisateurs : Nalini Ananthamaran et Raphaël Côte (IRMA Strasbourg)

Orateurs :
- Jean-Michel Coron (Université Pierre et Marie Curie)
- David Dos Santos Ferreira (Université de Nancy)
- Isabelle Gallagher (École normale supérieure)
- Geneviève Raugel (Université Paris Sud)

Des informations supplémentaires concernant notamment le programme, les possibilités de financements, et l’inscription, gratuite mais obligatoire, sont disponibles à cette adresse.

Post-doctorat ISDEEC

Un post-doctorat de deux ans est mis au concours dans le cadre du projet ISDEEC sur les interactions entre systèmes dynamiques, équations d’évolution et contrôle. Le contrat débutera a priori en octobre 2018. Les candidatures doivent être déposées avant la mi-décembre 2017. Voir cette page pour plus d’information.

A two year postdoc is offered by the ISDEEC project on the interplay between dynamics, evolution equations and control theory. The contract would start around October 2018. Candidates must apply before mid-December 2017. See this page for more information.