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I will give a minicourse on the entropy of smooth dynamical systems, April 23-26, 2014.

La simulation numérique est un outil central dans l’étude pratique des systèmes dynamiques. On la modélise de la façon suivante. Soit f:X\to X une application continue sur un espace métrique compact. Une discrétisation de pas \epsilon est la donnée d’une application f_*:X_*\to X_* d’une partie finie \epsilon-dense avec d(f(x),f_*(x))<\epsilon pour tout x\in X_*. Si X=\mathbb T^d, la discrétisation uniforme d’ordre N\geq1 est définie par X_N:=N^{-1}\mathbb Z^d\cap[0,1[^d+\mathbb Z^d et f_N:X_N\to X_N est une application mesurable telle que d(f_N(x),f(x))\leq d(y,f(x)) pour tout x,y\in X_N.

Problématique: les propriétés dynamiques de f:X\to X peuvent-elle se lire sur ses discrétisations et comment?

Ce sujet ne se laisse pas attaquer directement par les techniques habituelles de la théorie des systèmes dynamiques et la plupart des questions naturelles restent ouvertes malgré quelques résultats et expériences intriguantes (voici une introduction partielle et informelle à la littérature “historique”).

Pierre-Antoine Guihéneuf a donné un séminaire à Orsay sur le cas des dynamiques génériques préservant le volume. Il a annoncé:

Théorème (Guihéneuf 2015). Il existe un ensemble G_\delta dense de difféomorphismes conservatifs f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d de classe C^1 tels que la proportion de points périodiques pour f_N tend vers 0 quand N\to\infty.

La preuve est délicate, y compris dans le cas “jouet” d’une suite d’applications linéaires. Ce résultat suggère que le comportement des discrétisations peut se comparer à celui d’une application discrète aléatoire (qui compte typiquement \sqrt{N^d} points périodiques) et s’oppose à celui observé en régularité C^0:

Théorème (Guihéneuf 2012). Il existe un ensemble G_\delta dense d’homéomorphismes conservatifs f:\mathbb T^d\to\mathbb T^d tels que:

  1. Tout point de l’intervalle est accumulé par la suite \#\{x\in X_N:\exists k>0 f_N^k(x)=x\}/\# X_N, N\to\infty;
  2. Toute mesure de probabilité borélienne f-invariante est point d’accumulation d’une suite de mesures \mu_N\mu_N est f_N-invariante.

La fonction de Moebius \mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\} peut se voir comme un point \mu du décalage (\{-1,0,1\}^{\mathbb N},\sigma). On s’intéresse aux points d’accumulation de l’orbite (et donc au sous-décalage X_M:=\overline{\{\sigma^n(\mu):n\geq0\}}) et des mesures empiriques m^\mu_n:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \delta_{\sigma^k(\mu)}. La conjecture de Chowla (1965) est équivalente à la convergence des mesures empiriques vers une mesure pour laquelle les signes des éléments non-nuls sont indépendants.

Thierry de la Rue a exposé au groupe de travail ergodique et dynamique une partie de ses travaux (en collaboration avec El Abdalaoui et Lemanczyk). Il s’agit d’une généralisation du problème où l’interdiction des facteurs carrés p_1^2,p_2^2,\dots est remplacée par celle d’une suite a_1^2,a_2^2,\dots d’entiers deux-à-deux premiers entre eux avec \sum_{k\geq1} a_k^{-2}<\infty.

Une première étape caractérise le sous-décalage et la mesure empirique pour la fonction \eta définie sur \mathbb N^* par \eta(n)=1 ssi aucun a_k^2 ne divise n. Le décalage engendré est décrit par une condition d’admissibilité simple (hérédité; on peut en déduire son entropie topologique et sa mesure d’entropie maximale). La limite des m^\eta_n existe. C’est m^\eta l’image par une application explicite (mais non continue) de la mesure de Haar sur un groupe compact abélien naturel.

Sous la condition (*) \sum_{k\geq1} a_k^{-1}<\infty, la deuxième étape montre la convergence des mesures m^\mu_n vers l’image du produit m^\eta\otimes(\tfrac12,\tfrac12)^{\mathbb N} sur \{0,1\}^{\mathbb N}\times\{-1,1\}^{\mathbb N} par (x,s)\mapsto (x_ns_n).  La condition n’est pas satisfaite dans le cas classique… mais pas de beaucoup!Cette analyse fait intervenir la disjonction au sens de Furstenberg avec différentes classes de systèmes ergodiques d’entropie nulle.

Un théorème classique de Bob Williams (1974) traduit la conjugaison topologique des décalages de type fini en une relation d’équivalence entre matrices carrées (de taille arbitraire): l’équivalence de décalage forte (SSE). Williams a également introduit l’équivalence de décalage (SE). Cette dernière relation est un affaiblissement de SSE et qui s’analyse complètement en termes de groupes de dimension. Contrairement à la conjecture formulée par Williams, Wagoner (2000) a construit un exemple montrant que ces deux relations ne sont pas identiques. La relation SSE reste assez mystérieuse.

Les matrices intermédiaires intervenant dans la définition de ces relations sont à coefficients dans \mathbb Z_+. On peut remplacer ce semi-anneau par un anneau unitaire. Boyle et Handelman (1993) ont montré que SSE=SE pour tout anneau de Dedekind.

Le récent papier de Boyle et Schmieding élucide la situation pour un anneau quelconque. L’ensemble des sous-classes d’équivalence SSE d’une classe d’équivalence SE est en bijection avec le noyau de l’application K_1(\mathcal R[t])\to K_1(\mathcal R) induite par t\mapsto 0K_1(\mathcal A) est le quotient du groupe linéaire \lim_{n\to\infty} GL_n(\mathcal A) par le groupe définit par les matrices élémentaires.

J’ai eu le plaisir d’être invité au séminaire de théorie ergodique à Rennes. Voici les transparents (amendés) de ma présentation. C’est le même résultat présenté à Avignon, mais j’ai mis cette fois l’accent sur l’approche “dynamique symbolique intégrale” plutôt qu’analyse soft modulo m.m.e. relatives

La prépublication est enfin sur arxiv!

Voici le lien.

En comparaison avec ma précédente prépublication sur le sujet (également sur arxiv), on parvient dans ce nouveau travail à analyser les mesures maximisant l’entropie relativement à une période. On développe aussi les lemmes boréliens nécessaires au traitement du cas non nécessairement mélangeant. On obtient ainsi un résultat modulo les mesures d’entropie nulle et non pas modulo ces “m.m.e. relatives”.

La taille de l’ensemble des différences des éléments d’un ensemble donné est un thème classique en combinatoire.  Citons le nombre de distances distinctes entre les points d’un ensemble de cardinal donné (question de Erdos) ou la récente théorie des groupes approximatifs.

Yuri LIMA a présenté ce 15 septembre au groupe de travail Ergodique et dynamique, le résultat suivant sur les ensembles polynomiaux (images de l’ensemble des entiers par un polynôme à coefficients entiers). SI E_1,\dots,E_r sont des ensembles polynômiaux tels que $\sum_{i=1}^r 1/deg(E_i)>1$, alors pour Lebesgue presque tout \lambda\in\mathbb R^{r-1}, la somme F:=E_1+\lfloor\lambda_1E_1\rfloor+\dots+\lfloor\lambda_rE_r\rfloor est de densité de Banach supérieure strictement positive. D’après le théorème de Szemerédi, ceci implique que F contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

La preuve de Lima et Gugu repose sur un analogue d’un théorème classique de théorie géométrique de la mesure, le théorème de Marstrand. Selon ce théorème, si K_1,K_2 sont deux compacts de \mathbb R dont la somme des dimensions de Hausdorff est strictement plus grande que 1, alors, pour presque tout \lambda\in\mathbb R,  l’ensemble unidimensionnel K_1+\lambda K_2 est de mesure de Lebesgue strictement positive.

Lima et Gugu utilisent une notion de dimension généralisant naturellement la densité de Banach supérieure et observe que l’image de \mathbb Z par un polynôme de degré d est bien de dimension 1/d en ce sens. Leur preuve a également besoin d’une propriété de “régularité conjointe” des ensembles polynomiaux qui n’a pas de contrepartie dans le cas classique.

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