Discrétisations spatiales des difféomorphismes conservatifs génériques [P.-A. Guihéneuf]

La simulation numérique est un outil central dans l’étude pratique des systèmes dynamiques. On la modélise de la façon suivante. Soit une application continue sur un espace métrique compact. Une discrétisation de pas est la donnée d’une application d’une partie finie -dense avec pour tout . Si , la discrétisation uniforme d’ordre est définie par et est une application mesurable telle que pour tout .

Problématique: les propriétés dynamiques de peuvent-elle se lire sur ses discrétisations et comment?

Ce sujet ne se laisse pas attaquer directement par les techniques habituelles de la théorie des systèmes dynamiques et la plupart des questions naturelles restent ouvertes malgré quelques résultats et expériences intriguantes (voici une introduction partielle et informelle à la littérature “historique”).

Pierre-Antoine Guihéneuf a donné un séminaire à Orsay sur le cas des dynamiques génériques préservant le volume. Il a annoncé:

Théorème (Guihéneuf 2015). Il existe un ensemble dense de difféomorphismes conservatifs de classe tels que la proportion de points périodiques pour tend vers 0 quand .

La preuve est délicate, y compris dans le cas “jouet” d’une suite d’applications linéaires. Ce résultat suggère que le comportement des discrétisations peut se comparer à celui d’une application discrète aléatoire (qui compte typiquement points périodiques) et s’oppose à celui observé en régularité :

Théorème (Guihéneuf 2012). Il existe un ensemble dense d’homéomorphismes conservatifs tels que:

1. Tout point de l’intervalle est accumulé par la suite , ;
2. Toute mesure de probabilité borélienne -invariante est point d’accumulation d’une suite de mesures où est -invariante.

Dynamique de la suite de Moebius et conjecture de Chowla (El Abdalaoui, Lemanczyk, de la Rue)

La fonction de Moebius peut se voir comme un point du décalage . On s’intéresse aux points d’accumulation de l’orbite (et donc au sous-décalage ) et des mesures empiriques . La conjecture de Chowla (1965) est équivalente à la convergence des mesures empiriques vers une mesure pour laquelle les signes des éléments non-nuls sont indépendants.

Thierry de la Rue a exposé au groupe de travail ergodique et dynamique une partie de ses travaux (en collaboration avec El Abdalaoui et Lemanczyk). Il s’agit d’une généralisation du problème où l’interdiction des facteurs carrés est remplacée par celle d’une suite d’entiers deux-à-deux premiers entre eux avec .

Une première étape caractérise le sous-décalage et la mesure empirique pour la fonction définie sur par ssi aucun ne divise . Le décalage engendré est décrit par une condition d’admissibilité simple (hérédité; on peut en déduire son entropie topologique et sa mesure d’entropie maximale). La limite des existe. C’est l’image par une application explicite (mais non continue) de la mesure de Haar sur un groupe compact abélien naturel.

Sous la condition (*) , la deuxième étape montre la convergence des mesures vers l’image du produit sur par .  La condition n’est pas satisfaite dans le cas classique… mais pas de beaucoup!Cette analyse fait intervenir la disjonction au sens de Furstenberg avec différentes classes de systèmes ergodiques d’entropie nulle.

Equivalences de décalages et K-théorie algébrique d’après Boyle et Schmieding

Un théorème classique de Bob Williams (1974) traduit la conjugaison topologique des décalages de type fini en une relation d’équivalence entre matrices carrées (de taille arbitraire): l’équivalence de décalage forte (SSE). Williams a également introduit l’équivalence de décalage (SE). Cette dernière relation est un affaiblissement de SSE et qui s’analyse complètement en termes de groupes de dimension. Contrairement à la conjecture formulée par Williams, Wagoner (2000) a construit un exemple montrant que ces deux relations ne sont pas identiques. La relation SSE reste assez mystérieuse.

Les matrices intermédiaires intervenant dans la définition de ces relations sont à coefficients dans . On peut remplacer ce semi-anneau par un anneau unitaire. Boyle et Handelman (1993) ont montré que SSE=SE pour tout anneau de Dedekind.

Le récent papier de Boyle et Schmieding élucide la situation pour un anneau quelconque. L’ensemble des sous-classes d’équivalence SSE d’une classe d’équivalence SE est en bijection avec le noyau de l’application induite par où est le quotient du groupe linéaire par le groupe définit par les matrices élémentaires.

Exposé: Structures presques boréliennes des chaînes de Markov topologiques et de leurs facteurs – application aux surfaces

J’ai eu le plaisir d’être invité au séminaire de théorie ergodique à Rennes. Voici les transparents (amendés) de ma présentation. C’est le même résultat présenté à Avignon, mais j’ai mis cette fois l’accent sur l’approche “dynamique symbolique intégrale” plutôt qu’analyse soft modulo m.m.e. relatives

Structures presque boréliennes des difféomorphismes de surfaces, des chaînes de Markov topologiques et de leurs facteurs

La prépublication est enfin sur arxiv!

Voici le lien.

En comparaison avec ma précédente prépublication sur le sujet (également sur arxiv), on parvient dans ce nouveau travail à analyser les mesures maximisant l’entropie relativement à une période. On développe aussi les lemmes boréliens nécessaires au traitement du cas non nécessairement mélangeant. On obtient ainsi un résultat modulo les mesures d’entropie nulle et non pas modulo ces “m.m.e. relatives”.

Un théorème de Marstrand pour les ensembles d’entiers (Gugu et Y. Lima)

La taille de l’ensemble des différences des éléments d’un ensemble donné est un thème classique en combinatoire.  Citons le nombre de distances distinctes entre les points d’un ensemble de cardinal donné (question de Erdos) ou la récente théorie des groupes approximatifs.

Yuri LIMA a présenté ce 15 septembre au groupe de travail Ergodique et dynamique, le résultat suivant sur les ensembles polynomiaux (images de l’ensemble des entiers par un polynôme à coefficients entiers). SI sont des ensembles polynômiaux tels que $\sum_{i=1}^r 1/deg(E_i)>1$, alors pour Lebesgue presque tout , la somme est de densité de Banach supérieure strictement positive. D’après le théorème de Szemerédi, ceci implique que contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

La preuve de Lima et Gugu repose sur un analogue d’un théorème classique de théorie géométrique de la mesure, le théorème de Marstrand. Selon ce théorème, si sont deux compacts de dont la somme des dimensions de Hausdorff est strictement plus grande que 1, alors, pour presque tout ,  l’ensemble unidimensionnel est de mesure de Lebesgue strictement positive.

Lima et Gugu utilisent une notion de dimension généralisant naturellement la densité de Banach supérieure et observe que l’image de par un polynôme de degré d est bien de dimension 1/d en ce sens. Leur preuve a également besoin d’une propriété de “régularité conjointe” des ensembles polynomiaux qui n’a pas de contrepartie dans le cas classique.

Introduction aux systèmes dynamiques

Ce mercredi 10 septembre commence mon cours MAT551 à l’Ecole polytechnique (voir aussi cette description de l’approfondissement MAT571).