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Posts Tagged ‘smooth ergodic theory’

Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.

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One expects measure maximizing the entropy (m.m.e.) to be especially “interesting”, especially for dynamics with “some hyperbolicity”. For instance, under some (hyperbolicity) assumptions, one expects them to determine all the aperiodic invariant probability measure (see this expository paper). By a theorem of Newhouse (1987) based on Yomdin’s theory, C^\infty smoothness ensures the existence of some m.m.e.

Finite multiplicity is a harder question – often it can be solved only after a thorough understanding of the dynamics. It is a classical result for uniformly hyperbolic diffeomorphisms. I proved it in my thesis for C^\infty interval maps with nonzero entropy (finite smoothness is not enough, even though Ruelle’s inequality shows that all ergodic measures with lower bounded entropy have lower bounded Lyapunov exponents).

Here, at the School and Conference on Dynamical Systems at ICTP, I presented the following answer to a long standing question of Newhouse:

Theorem (B-Crovisier-Sarig). A C^\infty smooth diffeomorphism of a compact surface with nonzero topological entropy has finitely many ergodic measures maximizing the entropy.

You can see the slides here.

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Un preprint de V. Baladi, M. Demers et C. Liverani établit la décroissance exponentielle des corrélations pour le flot défini par tout billard de Sinaï (1970) à horizon fini sur le tore de dimension 2 avec nombre fini d’obstacles strictement convexes et disjoints de classe C3. Ceci s’applique aux observables hölderiennes. Ceci est obtenu comme corollaire d’une analyse spectrale très fine. La preuve utilise les propriétés spécifiques de ces billards, notamment l’accumulation sous-exponentielle des singularités (qui intervient déjà pour les applications dilatantes par morceaux, voir par exemple mes articles ici et ) et une forme de transversalité entre ces singularités et les directions stables (utilisée déjà pour les applications hyperboliques par morceaux, par exemple par Baladi et Gouëzel). Pour mieux apprécier le résultat de Baladi, Demers et Liverani, rappelons que la décroissance exponentielle des corrrélations a été résolue par L-S Young il y a une quinzaine d’années pour l‘application décrivant l’évolution d’une collision à la suivante. On connait toutefois la difficulté à analyser les propriétés de mélange des flots,  y compris dans le cas Anosov (voir les travaux de Dolgopyat et de Liverani, notamment).

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J’ai eu le plaisir d’être invité au séminaire de théorie ergodique à Rennes. Voici les transparents (amendés) de ma présentation. C’est le même résultat présenté à Avignon, mais j’ai mis cette fois l’accent sur l’approche “dynamique symbolique intégrale” plutôt qu’analyse soft modulo m.m.e. relatives

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La prépublication est enfin sur arxiv!

Voici le lien.

En comparaison avec ma précédente prépublication sur le sujet (également sur arxiv), on parvient dans ce nouveau travail à analyser les mesures maximisant l’entropie relativement à une période. On développe aussi les lemmes boréliens nécessaires au traitement du cas non nécessairement mélangeant. On obtient ainsi un résultat modulo les mesures d’entropie nulle et non pas modulo ces “m.m.e. relatives”.

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Dans un travail récemment diffusé sur arxiv, Jana RODRIGUEZ HERTZ montre le théorème suivant:

Théorème. Soit un difféomorphisme f:M\to M d’une variété compacte tridimensionnelle, de classe C^1 et préservant la mesure volume m. Génériquement, f vérifie l’une des deux assertions suivantes:

  1. m-p.p.les trois exposants de Lyapunov sont nuls;
  2. m-p.p. aucun des trois exposants n’est nul. De plus (a) (f,m) est ergodique; (b) f est partiellement hyperbolique, i.e., admet une décomposition dominée TM=E\oplus^{<} F volume hyperbolique séparant les exposants strictement positifs et strictement négatifs.

 

Ce résultat fait partie d’un ensemble initié par le théorème de Bochi (ETDS 2002, annoncé par Mané en 1983) généralisé par Bochi et Viana (Ann. Math. 2005, en version preprint sur arxiv) sous la forme: pour un difféomorphisme générique d’une variété compacte, de classe C^1 et préservant le volume, la décomposition d’Oseledets (définie m-p.p. par les valeurs des exposants) s’étend en une décomposition dominée. En 2009, Avila et Bochi (Trans AMS 2012, en version preprint sur arxiv) avaient montré qu’en toute dimension, on a génériquement soit on a des exposants nuls presque partout, soit il existe un ensemble dense et de mesure non-nulle sans exposants de Lyapunov et sur lequel la dynamique est ergodique.

Avila, Crovisier and Wilkinson ont annoncé la généralisation en toute dimension du théorème de J. Rodriguez Hertz.

Ingrédients de la preuve. Le point principal (par rapport à ce qui est connu) réside en l’affirmation: si l’ensembleE des points ayant trois exposants \lambda_1(x)<\lambda_2(x)=0<\lambda_3(x) n’est pas de mesure nulle alors f est volume hyperbolique, non seulement au-dessus de E (ceci découle des techniques de Bochi et Viana)  mais globalement. On pourra alors conclure en combinant le théorème d’ergodicité de Hertz-Hertz-Urès et la technique perturbative de Bonatti-Barraviera (qui permet de moyenniser l’exposant central).

La preuve de l’affirmation se fait en considérant K, l’ensemble où f est partiellement hyperbolique privé de l’union des classes d’accessibilité ouvertes. Selon la proposition 5.3, les classes d’accessibilité définissent sur K une lamination compacte.

L’ensemble des feuilles compactes de K est encore une lamination d’après Haefliger. Si celle-ci n’est pas vide,  on peut trouver une feuille de bord qui donne un tore périodique sur lequel f est Anosov. Il existe donc deux points homocliniquement reliés, ce qui amène la contradiction dans ce cas. Supposons donc qu’aucune des feuilles de K n’est compacte.

Les composantes connexes de M\setminus K sont périodiques par préservation du volume. On les complète en ajoutant leurs feuilles de bord. On peut les écrire comme une union d’une partie compacte G et d’un fibré en droites F au-dessus de surfaces non-compactes (arbitrairement petites), l’intersection des deux étant une union d’anneaux.

Soit l’ensemble des points qui reviennent une infinité de fois dans G, soit l’ensemble des points restant après N itérations dans I est d’intérieur non-vide. On peut ensuite utiliser le lemme de fermeture d’Anosov pour trouver les deux points homocliniquement reliés et conclure.

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Dans le cadre du groupe de travail sur les cocycles au-dessus des dynamiques hyperboliques, Jiagang YANG a présenté ce 3 février 2012 ses récents travaux exploitant les propriétés de continuité de l’entropie topologique ou mesurée en fonction de la mesure et/ou de la transformation, notamment pour l’étude de la dynamique générique et de faible régularité.

1. Entropie topologique

Notons \mathcal T(M) l’ensemble des difféomorphismes admettant une tangence homocline. Notons B_f(x,\epsilon,n):=\{y:\forall 0\leq k<n\; d(f^ky,f^kx)<\epsilon\} la boule dynamique. Notons h_{top}(f) l’entropie topologique de f.

Théorème (Liao, Viana, Yang). Tout difféomorphisme de {Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)} est robustement entropie-expansif: il existe \epsilon>0 et un voisinage \mathcal U\ni f tels que pour tous g\in\mathcal U, on a: h_{top}(g,B_g(x,\epsilon,\infty))=0.

Conséquences.

  1. f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}\mapsto h_{top}(f) est semi-continu supérieurement (scs).
  2. La conjecture de l’entropie de Shub est vérifiée pour tout f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}.

2. Entropie mesurée dans le cas conservatif

Théorème (Yang). L’ensemble des points de continuité de f\in{Diff}^1(M)\mapsto h_{vol}(f) est générique.

Corollaire. La formule de Pesin h_{vol}(f)=\int \sum_i \lambda_i(f,x)^+\, dvol s’étend au cas C^1.

Corollaire. L’ensemble des points de continuité de f\mapsto (x\mapsto \lambda_i(f,x)\in L^1(vol) est générique.

3. Anosov topologiquement transitifs

Si f_n\in{Diff}^2(M) $C^1$-convergent vers f\in{Diff}^2(M) alors les mesures SRB des f_n convergent vaguement vers celle de f.

Un difféomorphisme f\in{Diff}^1(M) générique, topologiquement transitif, possède exactement une mesure physique.

4. Transformation plutôt contractantes

M. Andersson a montré que la condition être “plutôt contractant” (mostly contracting) est ouverte dans la topologie C^2. Est-ce encore le cas pour la topologie C^1?

Proposition (Yang). L’ensemble des difféomorphismes de classe C^1 partiellement hyperboliques avec: dimension centrale égale à 1; plutôt contractants; d’exposant centre-instable strictement négatif forment un ouvert C^1.

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