Feeds:
Posts
Comments

Posts Tagged ‘smooth ergodic theory’

With Sylvain CROVISIER and Omri SARIG, we show that C^\infty surface diffeomorphisms with positive topological entropy have at most finitely many ergodic measures of maximal entropy in general, and at most one in the topologically transitive case. This answers a question of Newhouse, who proved that such measures always exist.

To do this we generalize Smale’s spectral decomposition theorem to non-uniformly hyperbolic surface diffeomorphisms, we introduce homoclinic classes of measures, and we study their properties using codings by irreducible countable state Markov
shifts.

The preprint is on arxiv (you can also download the preprint here).

Advertisements

Read Full Post »

At the third conference on Dynamics of Differential Equations, I explained the following Spectral Decomposition Theorem for arbitrary smooth surface diffeomorphisms. It is mostly part of the joint work with Sylvain Crovisier and Omri Sarig.

 

Given some dynamics, say that X\equiv Y if the symmetric difference of the two subsets does not carry measures with positive entropy.

Theorem (B-Crovisier-Sarig). For a C^\infty diffeomorphism of a closed surface, let \{H(O_i)\}_{i\in I} be its infinite homoclinic classes. Then the non-wandering set satisfies: \Omega(f) \equiv \bigcup_{i\in I} H(O_i) with H(O_i)\cap H(O_j)\equiv\emptyset and f:H(O_i)\to H(O_i) topologically transitive. More precisely, for each i\in I, there is a compact set A_i and an integer _i\geq1 such that f^{p_i}:A_i\to A_i is topologically mixing, H(O_i)=\bigcup_{j=0}^{p_i-1} f^j(A_i), A_i=f^{p_i}(A_i) and f^{-j}(A_i)\cap f^{-k}A_i\equiv\emptyset if 0\leq j<k<p_i.

If f|\Omega(f) is topologically transitive and h_{{\rm top}}(f)>0, then there is a unique infinite homoclinic class. If, additionally, f|\Omega(f) is topologically mixing, then this homoclinic class is itself topologically mixing.

 

I also explained that we have a good understanding of the dynamics inside the pieces (measures of maximum entropy, periodic orbits, Borel classification and the periods involved in the three descriptions are the above period p_i). See these slides for details.

Read Full Post »

A l’occasion de la journée Systèmes dynamiques, probabilité, statistiques à Quimper, j’ai présenté la notion de facteur de Bowen et son utilité pour l’étude des difféomorphismes de surfaces. On peut ainsi rendre injective les extensions finies construites par Omri Sarig, en ne perdant qu’une partie faiblement errante (union dénombrable de parties errantes).

Read Full Post »

Lors d’une journée autour de la soutenance de la thèse de Jordan EMME, j’ai présenté les résultats obtenus avec Sylvain CROVISIER et Todd FISHER sur l’entropie des difféomorphismes sans domination en régularité C^1.

J’ai expliqué différentes questions sur l’entropie topologique et notamment le problème de (non)densité des difféomorphismes “stables pour l’entropie” (ie, dont l’entropie topologique est localement constante) et les réponses apportées par nos résultats basés sur un renforcement de résultats classiques de Newhouse et plus récemment de Bonatti, Catalan, Tahzibi et Gourmelon et d’autres.

Voici mes transparents et la prépublication  sur arxiv.

Read Full Post »

One expects measure maximizing the entropy (m.m.e.) to be especially “interesting”, especially for dynamics with “some hyperbolicity”. For instance, under some (hyperbolicity) assumptions, one expects them to determine all the aperiodic invariant probability measure (see this expository paper). By a theorem of Newhouse (1987) based on Yomdin’s theory, C^\infty smoothness ensures the existence of some m.m.e.

Finite multiplicity is a harder question – often it can be solved only after a thorough understanding of the dynamics. It is a classical result for uniformly hyperbolic diffeomorphisms. I proved it in my thesis for C^\infty interval maps with nonzero entropy (finite smoothness is not enough, even though Ruelle’s inequality shows that all ergodic measures with lower bounded entropy have lower bounded Lyapunov exponents).

Here, at the School and Conference on Dynamical Systems at ICTP, I presented the following answer to a long standing question of Newhouse:

Theorem (B-Crovisier-Sarig). A C^\infty smooth diffeomorphism of a compact surface with nonzero topological entropy has finitely many ergodic measures maximizing the entropy.

You can see the slides here.

Read Full Post »

Un preprint de V. Baladi, M. Demers et C. Liverani établit la décroissance exponentielle des corrélations pour le flot défini par tout billard de Sinaï (1970) à horizon fini sur le tore de dimension 2 avec nombre fini d’obstacles strictement convexes et disjoints de classe C3. Ceci s’applique aux observables hölderiennes. Ceci est obtenu comme corollaire d’une analyse spectrale très fine. La preuve utilise les propriétés spécifiques de ces billards, notamment l’accumulation sous-exponentielle des singularités (qui intervient déjà pour les applications dilatantes par morceaux, voir par exemple mes articles ici et ) et une forme de transversalité entre ces singularités et les directions stables (utilisée déjà pour les applications hyperboliques par morceaux, par exemple par Baladi et Gouëzel). Pour mieux apprécier le résultat de Baladi, Demers et Liverani, rappelons que la décroissance exponentielle des corrrélations a été résolue par L-S Young il y a une quinzaine d’années pour l‘application décrivant l’évolution d’une collision à la suivante. On connait toutefois la difficulté à analyser les propriétés de mélange des flots,  y compris dans le cas Anosov (voir les travaux de Dolgopyat et de Liverani, notamment).

Read Full Post »

J’ai eu le plaisir d’être invité au séminaire de théorie ergodique à Rennes. Voici les transparents (amendés) de ma présentation. C’est le même résultat présenté à Avignon, mais j’ai mis cette fois l’accent sur l’approche “dynamique symbolique intégrale” plutôt qu’analyse soft modulo m.m.e. relatives

Read Full Post »

Older Posts »