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Posts Tagged ‘substitutions’

Xavier BRESSAUD a présenté à Orsay une caractérisation locale du plan de Tribonacci.

La substitution de Tribonacci a été introduite par Gérard RAUZY. Il s’agit de a\mapsto ab, b\mapsto ac, c\mapsto a. La matrice correspondante a un espace contractant de dimension 2. La frontière supérieure de l’union des cubes entiers intersectant ce plan est le plan discret de Tribonacci. En projection sur le plan contractant, on obtient un pavage du plan par tuiles en forme de parallèlogrammes de trois types. Par translation et fermeture dans une certaine topologie on obtient un système dynamique appelé espace de pavage.

Théorème. Quitte à colorier les tuiles, les pavages précédents sont caractérisés par des conditions d’adjacence.

La preuve est une adaptation des travaux de MOZES et de GOODMAN-STRAUSS. Le plan discret forme un système substitutif: les tuiles se regroupent par groupes de trois, etc. Il s’agit d’encoder cette structure hiérarchique par 1°) des chenaux liant les groupes d’ordre n formant un groupe d’ordre n+1; 2°) un marquage périphérique qui garantit le bon recollement des groupes de même ordre.

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