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Posts Tagged ‘statistical stability’

Dans le cadre du groupe de travail sur les cocycles au-dessus des dynamiques hyperboliques, Jiagang YANG a présenté ce 3 février 2012 ses récents travaux exploitant les propriétés de continuité de l’entropie topologique ou mesurée en fonction de la mesure et/ou de la transformation, notamment pour l’étude de la dynamique générique et de faible régularité.

1. Entropie topologique

Notons \mathcal T(M) l’ensemble des difféomorphismes admettant une tangence homocline. Notons B_f(x,\epsilon,n):=\{y:\forall 0\leq k<n\; d(f^ky,f^kx)<\epsilon\} la boule dynamique. Notons h_{top}(f) l’entropie topologique de f.

Théorème (Liao, Viana, Yang). Tout difféomorphisme de {Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)} est robustement entropie-expansif: il existe \epsilon>0 et un voisinage \mathcal U\ni f tels que pour tous g\in\mathcal U, on a: h_{top}(g,B_g(x,\epsilon,\infty))=0.

Conséquences.

  1. f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}\mapsto h_{top}(f) est semi-continu supérieurement (scs).
  2. La conjecture de l’entropie de Shub est vérifiée pour tout f\in{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal T(M)}.

2. Entropie mesurée dans le cas conservatif

Théorème (Yang). L’ensemble des points de continuité de f\in{Diff}^1(M)\mapsto h_{vol}(f) est générique.

Corollaire. La formule de Pesin h_{vol}(f)=\int \sum_i \lambda_i(f,x)^+\, dvol s’étend au cas C^1.

Corollaire. L’ensemble des points de continuité de f\mapsto (x\mapsto \lambda_i(f,x)\in L^1(vol) est générique.

3. Anosov topologiquement transitifs

Si f_n\in{Diff}^2(M) $C^1$-convergent vers f\in{Diff}^2(M) alors les mesures SRB des f_n convergent vaguement vers celle de f.

Un difféomorphisme f\in{Diff}^1(M) générique, topologiquement transitif, possède exactement une mesure physique.

4. Transformation plutôt contractantes

M. Andersson a montré que la condition être “plutôt contractant” (mostly contracting) est ouverte dans la topologie C^2. Est-ce encore le cas pour la topologie C^1?

Proposition (Yang). L’ensemble des difféomorphismes de classe C^1 partiellement hyperboliques avec: dimension centrale égale à 1; plutôt contractants; d’exposant centre-instable strictement négatif forment un ouvert C^1.

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