Systèmes dynamiques et applications
géométriques et en théorie des nombres
Ecole polytechnique, septembre à novembre 2016
Contrôle: Enoncé et indications. vendredi 16 décembre de 09h00 à 12h00 PC16 – Autorisé: polycopié + transparents + dictionnaires papiers ou électroniques + les calculatrices. Interdit: tout autre document, y compris les notes personnelles; appareils permettant de communiquer ou d’enregistrer du contenu.
Présentation générale et prérequis: voir le catalogue des cours
Cours (exercices inclus): les vendredi de 14h à 18h15, à partir du 16 septembre. Le cours s’appuie sur des transparents qui sont mis en ligne ultérieurement ainsi que sur un polycopié.
Polycopié: version 2.57 (les problèmes seront regroupés dans un fascicule).
Exercices: Ils sont donnés d’une fois sur l’autre et forment une partie indispensable de l’enseignement. Après correction au tableau par un élève et/ou le professeur, chacun remet une fiche précisant pour chaque question si sa réponse était: complètement satisfaisante y compris dans sa rédaction, essentiellement correcte, erronée ou bien la question n’a pas été préparée.
Devoir maison: Chaque élève écrit lui-même sa solution (sans exclure, bien au contraire, une réflexion à plusieurs).
Evaluation: 75% contrôle + 25% participation (à confirmer)
Enseignement d’Approfondissement MAT571. Description. Sujets précédemment traités:
- Théorème de récurrence multiple de Furstenberg
- Groupes fuchsiens et flot géodésique
- Ensemble non-errant du flot géodésique des surfaces hyperboliques
- Conjugaison topologique des sous-décalages de type fini et opérations sur les graphes
Journal du cours
- 16 septembre: Introduction générale (des équations différentielles aux systèmes dynamiques; théorème de récurrence de Poincaré; théorème de Birkhoff-Smale). Transparents . Exercices à préparer; un article de vulgarisation sur le théorème de récurrence.
- 23 septembre: Classification topologique (conjugaisons, facteurs et invariants). Transparents. Exercices à préparer. Compléments.
- 30 septembre: Minimalité et transitivité (théorème de Birkhoff, théorème de Baire). Transparents. Exercices à préparer.
- 7 octobre: Entropie et existence de mesures invariantes (monotonie de l’entropie, théorème de Krylov-Bogolioubov). Transparents. Exercices à préparer.
- 14 octobre: Théorème ergodique uniforme; ergodicité. Transparents. Exercices à préparer.
- 21 octobre: Théorème ergodique (théorème de Birkhoff, espérance conditionnelle), structure riemannienne (distance géodésique, géodésique, plan hyperbolique). Transparents.Compléments. Exercices à préparer. Enoncé du DM pour le 18 novembre.
- 28 octobre: pas de cours
- 4 novembre: PSL(2,R), groupe de Moebius et fibré tangent du plan hyperbolique; Géodésiques. Transparents. Exercices à préparer. Indications pour le DM.
- 11 novembre: pas de cours
- 18 novembre: DM à rendre. Transparents. Exercices à préparer. Indications de solutions du DM.
- 25 novembre: Transparents.
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