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Se plaçant dans l’approche géométrique et topologique introduite par Henri Poincaré, Jacques Hadamard étudie les géodésiques de surfaces à courbure négative du point de vue topologique et combinatoire. Pour cette raison, cet article est considéré comme la fondation de la dynamique symbolique.

Cet article est librement consultable sur le site NUMDAM.

Plan de l’article:

L’article de 47 pages est découpé en 62 paragraphes numérotés répartis en une introduction, une conclusion et six parties:

  1. Forme générale de la surface; nappes infinies évasées et non-évasées
  2. Considérations d’Analysis situs
  3. Théorèmes fondamentaux. Lignes géodésiques fermées
  4. Géodésiques asymptotiques
  5. Géodésiques qui s’éloignent à l’infini
  6. Géodésiques de troisième catégorie; classification générale.

Questions, méthodes et résultats

 

Hadamard étudie les géodésiques du point de vue de leur topologie (elles forment un ensemble de Cantor où les périodiques sont denses) et de leur combinatoire (les géodésiques périodiques correspondent à des mots en les bords de la surface). Il utilise le calcul différentiel et le théorème de Gauss-Bonnet mais surtout la topologie (analysis situs)  dans le sillage des travaux de Poincaré. Il souligne:

Si la méthode employée est simple, les résultats auxquels nous parviendrons sont compliqués ou, du moins, très différents de ceux que l’on est habitué à rencontrer. C’est cette complication même qui est instructive , en mettant en évidence ce qu’a d’exceptionnel la simplicité des discussions obtenues par l’intégration directe, dans les cas où elle est possible, et en montrant comment ces discussions simples donnent une idée fausse de ce qui se passe dans le cas général.

Forme générale de la surface

Il s’agit de surfaces plongées dans \mathbb R^3 et régulières (de classe au moins C^1). Leur courbure est strictement négative sauf peut-être en un nombre fini de points et “nous ferons, chemin faisant, sur la forme générale de ces surfaces, des hypothèses simples qui sont toujours vérifiées sur les surfaces algébriques

Hadamard suppose leur géométrie finie: il existe un nombre fini de courbes fermées, que l’on peut faire tendre continûment vers l’infini et qui limitent une surface constante du point de vue topologique. Le reste se compose de nappes infinies, chacune “devra être considérée comme” étant limitée par une des courbes fermées mentionnées ainsi que par une courbe à l’infini. Une nappe infini a donc la topologie d’un anneau.

Hadamard suppose qu’il n’y a pas de pointes mais seulement des trompettes: les nappes infinies sont, selon sa terminologie, évasées: il n’existe pas de courbes tendant vers l’infini dont la longueur ne tendent pas vers l’infini. Il affirme que les pointes constituent “une sorte de cas limite offrant des particularités et des difficultés analogues à  celles qu’introduisent les racines multiples de l’équation caractéristique dans la réduction des substitutions linéaires”.

Hadamard rappelle que la nature topologique d’une surface dépend (est déterminée?) “du nombre des bords (c’est-à-dire, pour nous, du nombre des nappes infinies) et du nombre des trous , caractérisés par les contours fermées qu’on peut tracer sur elle sans la démembrer.”  Il remarque qu’on “peut former des surfaces… ayant un nombre quelconques de nappes infinies” et donne plusieurs exemples dont un présentant un trou dont il suggère la généralisation.

Considérations d’Analysis situs

Hadamard rappelle quelques notions et résultats sur la topologie des courbes tracées sur les surfaces qu’il attribue à Jordan.

Un contour est une courbe fermée. Un contour élémentaire est une courbe fermée bordant une nappe infinie (contour simple) ou entourant un trou. Il existe “une, et une seule relation (*) entre les contours élémentaires”. Deux contours sont de la même espèce s’ils sont homotopes. Tout contour est homotope à une concaténation de  contours élémentaires: C_1^m C_2^{m'} C_3^{m''}\dots les contours C_i consécutifs étant distincts et les entiers m,m',m'',\dots non-nuls. Cette écriture est unique à la relation (*) et à une permutation circulaire près. Une surface simplement, resp. doublement, connexe n’a que le contour trivial, resp. les multiples d’un contour. Pour un ordre de connexité strictement supérieur à 2, il y a une infinité d’espèces de contours, mais seulement un nombre fini d’espèces de contours peut être réalisé par des courbes de longueurs bornées.

Deux chemins de a à b ont même type s’ils sont homotopes à extrémités fixées. Ils se représentent par les mêmes produits, sans qu’on puisse cette fois opérer de permutations circulaires. Un nombre fini de types de chemins peuvent être réalisés par des chemins de longueurs bornées. Un chemin d’un point a à une courbe fermée L est un chemin de a à un point b\in L quelconque. On identifie les types abL^n, n\in\mathbb Z.

Théorèmes fondamentaux. Lignes géodésiques fermées.

Hadamard paramètre la surface selon M'(u,v), l’extrémité d’une géodésique de longueur u issue d’un point M(v) perpendiculairement à la courbe M. Il rappelle que M'(u,v) se déplace à la vitesse \sqrt{u^2+C(u,v)v^2} avec \partial^2 C/\partial^2 u = -KC\geq 0, la courbure K de la surface en M'(u,v) étant négative. Il va déduire de ces faits toutes les propositions géométriques de l’article en remarquant à chaque fois qu’elles découlent également de la formule de Gauss-Bonnet.

Son premier résultat (théorème §31) est qu’il n’existe qu’une géodésique d’extrémités fixées et de type donné (une variante de résultats obtenus par Jacobi et von Mangolt). Le théorème §34 énonce que la paramétrisation M'(u,v) est bien un difféomorphisme local quand K<0 partout. Le théorème §37 énonce l’unicité des géodésiques fermées d’espèce donnée, à l’exception des contours simples définis par les nappes infinies non-évasées (asymptotes à un cylindre). Au paragraphe 38, Hadamard observe que l’ensemble des géodésiques fermées n’a pas d’éléments isolés.

Géodésiques asymptotes.

En appliquant la construction de la section précédente au cas où M(v) paramètre une géodésique, il obtient la convexité de la distance v\mapsto d(M(v),M'(u,v)), abscisse mesurée “selon un type déterminé”, c’est-à-dire en prenant une géodésique normale à M et de type fixé. Il constate que deux géodésiques qui ne se coupent pas (l’abscisse précédente varie de -\infty à +\infty de façon strictement monotone), ni ne restent à distance minorée  (la distance varie entre \infty et un minimum strictement positif, de façon bimodale), sont asymptotes (la distance varie entre \infty et 0 de façon strictement monotone). Il remarque que c’est une relation d’équivalence et que deux géodésiques distinctes issues du même point ne peuvent être asymptotes (§40-41).

Hadamard considère enfin les géodésiques asymptotes à une géodésique fermée. Il établit qu’une telle géodésique est déterminée par: un point d’origine, l’espèce de la géodésique fermée et le type suivi entre le point d’origine et la géodésique fermée et que l’angle entre la géodésique asymptote et la géodésique fermée tend vers 0. Pour finir, il remarque que les géodésiques fermées doivent être considérées comme asymptotes à elles-mêmes (§45).

Géodésiques s’éloignant à l’infini.

Hadamard définie la partie finie de la surface en la découpant le long des géodésiques fermées définies par chacune des trompettes. Il observe que toute géodésique quittant cette partie finie ne peut y revenir. D’après les remarques de convexité précédentes, elle doit en fait s’en éloigner indéfiniment et de façon monotone. En particulier, toute géodésique voisine a nécessairement le même comportement.

Après quelques remarques sur le cas des pointes (§50-51),  Hadamard considère le cas des surfaces ayant une ou deux trompettes. Il n’y a alors aucune géodésique restant dans la partie finie ou bien une seule (à multiplicité près) et observe combien le cas général va différer de ceux-ci.

Géodésiques de troisième catégorie; classification générale

Hadamard entre dans le coeur du sujet: les géodésiques restant dans la partie fini mais non asymptotes à une géodésique périodique. Il va approcher de grands segments de ces géodésiques en les refermant par une courbe de longueur bornée entre deux points très proches et dont les tangentes à la géodésique sont également très proche. Il démontre (§53) que la géodésique fermée de l’espèce définie par cette dernière courbe est C^1-proche du grand segment de géodésique.  Hadamard remarque (paragraphe 54) qu’on a là la propriété d’approximation des solutions générales par les solutions périodiques énoncée par Poincaré dans son ouvrage “Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste”, tome 1, page 82.  Hadamard (§55) observe que, réciproquement, une suite de géodésiques fermées (ou plus précisément leurs espèces précisées par le type des courbes les joignant à un point fixé) détermine une telle géodésique.

Hadamard démontre enfin (§56)  l’existence de ces géodésiques “du troisième type” par un argument abstrait: un point étant fixé, l’ensemble des directions définissant une géodésique bornée est un compact non-vide sans points isolés et cela implique que l’ensemble n’est pas dénombrable, contrairement à l’ensemble des géodésiques fermées! Aux paragraphes suivants (57-58), Hadamard précise son analyse et montre que l’ensemble est en fait totalement discontinu: c’est un espace de Cantor (rencontré par Poincaré, défini par Bendixson et analysé par Cantor selon Hadamard). Il observe (italiques dans l’original):

Tout changement, si minime qu’il soit, apporté à la direction initiale d’une géodésique qui reste à distance finie suffit pour amener une variation quelconque à l’allure finale de la courbe

Conclusion

Hadamard remarque (§58) d’abord que s’il croit que ces phénomènes se retrouvent dans d’autres problèmes de mécanique, il n’en a pas la preuve. Il écrit (§59) que cela affaiblirait beaucoup le sens du déterminisme et empêcherait, pense-t-il, toute possibilité de détermination de la stabilité du système solaire: il envisage la même difficulté que de décider si un nombre physiquement défini est rationnel ou irrationnel. Il propose (§60-61) d’étudier comment s’ordonne les différents comportement selon la position de la vitesse initiale sur le cercle des différentes conditions initiales. Il conclut en soulignant que ce travail est une application de deux principes mis en avant par Poincaré:

  1. le rôle fondamental de la topologie, notamment de l’espace des phases;
  2. l’importance des orbites périodiques “seule brèche par laquelle nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable” (selon la phrase de Poincaré cité par Hadamard).

 

Un théorème classique de Newhouse (1989) montre que toute transformation C^\infty d’une variété compacte dans elle-même possède une mesure maximisant l’entropie, c’est-à-dire réalisant le supremum du principe variationnel: h_{top}(f)=\sup_\mu h(f,\mu). Dès 1973, Misiurewicz avait montré que la régularité finie ne suffit pas à assurer cette existence en dimension 4 ou plus et posait la question des dimensions 2 et 3.

J’ai construit de tels exemples (à paraître dans Ergodic theory and dynamical systems, voir aussi sur arxiv une version préliminaire). J’ai récemment présenté ce résultat au colloque Palis-Balzan à l’IHP.

0. Problème du générateur

L’existence d’une partition génératrice finie ou dénombrable est équivalente à la possibilité de plonger un système dans un décalage sur un alphabet fini ou dénombrable, ie, \mathbb N^{\mathbb Z} et donc conditionne la réductibilité de maints problèmes au cas symbolique. Cette problématique est également fortement liée à l’entropie.

Je répète ici la présentation de Benjamin WEISS, Countable generators in dynamics” (1989) qui a donné une version borélienne (ou si l’on veut mesurable) du théorème de Rokhlin.

1. Théorème de Rokhlin (1963)

Enoncé: Soit (X,\mathcal X,\mu,T) un système dynamique probabiliste inversible défini sur un espace de Rokhlin. Si ce système est ergodique, alors il existe une partition dénombrable \mathcal P dite génératrice unilatérale: \bigvee_{k\leq0} T^{-k}\mathcal P= \mathcal X modulo \mu.

Lemme. Pour toute partition finie \mathcal P et tout mesurable C de mesure non-nulle, il existe une partition dénombrable \mathcal Q de C, telle que \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\})\geq \mathcal P.

Preuve du lemme: On subdivise C selon le temps de premier retour, puis chaque morceau correspondant au temps de retour n selon \bigvee_{k=0}^{n-1} T^{-k}\mathcal P. La partition \mathcal Q ainsi obtenue est mesurable et dénombrable. Par ergodicité, l’orbite de presque tout point x visite C en un temps -n avec n\geq0 minimal. L’élément de \bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\}) contenant x est donc contenu dans un élément de \mathcal P. Dans un espace de Rokhlin, ceci permet de conclure.

Preuve du théorème: On peut  supposer (\mu,T) apériodique, le théorème étant sinon trivial. Il existe donc une suite de mesurables disjoints C_0,C_1,C_2,\dots de mesures non-nulles. Dans un espace de Rokhlin, il existe une suite de partitions mesurables finies telles que \bigvee_{n\geq0} \mathcal P_n=\mathcal X modulo \mu. Le lemme fournit pour chaque entier n\geq0, une partition dénombrable \mathcal Q_n de C_n. On pose \mathcal Q:=\bigcup_{n\geq0} \mathcal Q_n\cup\{X\setminus\bigcup_{n\geq0}C_n\}. C’est bien une partition dénombrable vu la disjonction des C_n et \bigvee_{n\in\mathbb Z} T^{-n}\mathcal Q\geq\bigvee_{n\geq0} P_n=\mathcal X modulo \mu.

2. Version borélienne

Contexte: (X,\mathcal X,T) est un automorphisme d’un espace de Borel standard. On le muni de l’idéal errant \mathcal W. Un borélien est dit complètement positif si le complémentaire de son orbite positive \bigcup_{n\geq1} T^nB appartient à \mathcal W. Autrement dit, l’ensemble des points qui ne visite pas B une infinité de fois dans le passé et dans le futur appartient à \mathcal W.

Lemme: Si T est apériodique (sans points périodiques), alors il existe un borélien complètement positif satisfaisant A\cap TA=\emptyset.

Remarque: Si A est complètement positif, alors TA l’est aussi: X\setminus\bigcup_{n\geq1} T^n(TA)=(X\setminus\bigcup_{n\geq1}T^nA) \cup \{x\in A:\forall n\geq2 T^nx\notin A\}, l’union de deux éléments de \mathcal W (utilise le théorème de récurrence de Poincaré).

On itère ce lemme en posant A_0:=A et en considérant le système (A_n,\mathcal X\mid A_n,T_{A_n}), ce qui fournit A_{n+1},TA_{n+1}\subset A_n, donc disjoints de TA_n et de A_0,\dots,A_{n-1}.

Corollaire: il existe une suite de boréliens disjoints C_n,n\geq0, complètement positifs.

Un espace de Borel standard admet une suite de partitions finies dont l’union est génératrice. A partir de là, il suffit de reproduire la preuve du théorème de Rokhlin.

3. Commentaires

En général il n’existe pas de générateur fini – l’existence d’une mesure de probabilité invariante d’entropie infinie suffit à l’interdire. Dans le cadre mesuré, c’est la seule objection. Dans le cadre borélien,

Question (B. Weiss 1989): Un système dynamique borélien standard n’admettant pas de mesure finie invariante possède-t-il toujours un générateur à deux éléments?

 

 

Quelques notes sur une ancienne présentation de la dynamique mesurable, par B. Weiss (Contemporary Math. 26).

Soit X un espace de Borel standard : espace admettant une métrique complète muni de la tribu \mathcal B des boréliens

Soit T:X\to X un automorphisme: bijection vérifiant T(\mathcal B)=\mathcal B.

0. Théorème de représentation continue

On peut en fait toujours supposer le cadre continu, ie, supposer qu’on a un homéomorphisme d’un espace polonais (mais sans compacité!):

Théorème (George Mackey). Soit T:X\to X un automorphisme d’un espace de Borel standard. X admet une topologie \tau telle que:

  • \mathcal B est la tribu borélienne de \tau;
  • (X,\tau) est admet une métrique complète séparable;
  • T:(X,\tau)\to (X,\tau) est un homéomorphisme.

1. Mesures quasi-invariantes

1.1 Définitions.

Une mesure borélienne \mu (toujours supposée de probabilité) est:

  • quasi-invariante si T_*(\mu),\mu sont équivalentes;
  • apériodique si l’ensemble des points périodiques est de mesure nulle;
  • continue si tous les singletons sont de mesure nulle;
  • ergodique si les tous les ensembles invariants sont de mesure nulle ou de complémentaire de mesure nulle;
  • conservative si \mu(W)=0 pour tout ensemble errant.

Remarque: une mesure ergodique et continue est conservative.

Remarque: Il est naturel de considérer les classes de mesures quasi-invariantes, plutôt que celles-ci. Si une mesure non-nulle est \sigma-finie, alors elle est équivalente à une mesure de probabilité. (A vérifier: la restriction aux probas).

1.2. Ensembles errants.

W\in\mathcal B est un ensemble errant ssi \forall n\ne0\;W\cap T^nW=\emptyset.

Définition. L‘idéal errant est \mathcal W(T):=\{B\in\mathcal B:\exists W \text{ errant t.q. }B\subset \bigcup_{n\in\mathbb Z} T^nW\}. Si X\in\mathcal W(T), on dit que T est totalement dissipatif.

Remarque: \mathcal W(T) est un \sigma-idéal (A\in\mathcal W(T),B\in\mathcal B\implies A\cap B\in\mathcal B, A_n\in\mathcal W(T)\implies\bigcup_n A_n\in\mathcal W(T)) et TA\subset A\implies A\setminus TA\in\mathcal W.

Proposition (Récurrence de Poincaré). Pour tout B\in\mathcal B, il existe B'\subset B tel que B\setminus B'\in\mathcal W(T) vérifiant x\in B'\implies\exists n\to\infty T^nx\in B'.

1.3. Théorème de structure

Théorème. Si T est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors il existe un borélien B tel que le premier retour T_B est isomorphe à un odomètre.

1.4. Conséquences

Corollaire. Si T est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors, pour toute transformation $(S,\nu)$, ergodique et non-singulière de type II_\infty,III, il existe une mesure quasi-invariante \mu pour T telle que (T,\mu) et (S,\nu) sont orbites-équivalentes.

Corollaire (Shelah-Weiss, 1982). \mathcal W(T)=\bigcap_{\mu} \{B\in\mathcal B:\mu(B)=0\}\mu parcourt les mesures continues et quasi-invariantes.

2. Spectre d’un automorphisme

Définition. \lambda\in S^1 tel qu’il existe une fonction mesurable f:A\to S^1\;(A\notin\mathcal W(T)) vérifiant f\circ T=\lambda f.

Théorème. Si $latexT$ n’est pas dissipatif alors S^1 tout entier est le spectre.

3. Généralisation

On peut remplacer S^1 par un espace métrique compact et la multiplication par \lambda\in S^1 par un homéomorphisme quelconque de ce compact.

4. Tours de Rokhlin

On recherche des invariants en l’absence de mesures de probabilité invariantes.

Exemple. Soit E\subset S^1 un ensemble maigre mais de mesure positive. Pour toute rotation irrationnelle R_\alpha,  la restriction à S^1\setminus\bigcup (E+n\alpha) donne un tel système. En 1984, on ne sait pas les classifier.

Question. Existe-t-il toujours une partition génératrice finie ou dénombrable modulo \mathcal W(T)? (“I haven’t been able to decide whether or not countable generators always exist in the Borel sense”)

Remarque. Modulo un ensemble de mesure nulle pour une probabilité invariante, il s’agit des théorèmes de Rokhlin (cas dénombrable) et Krieger (cas fini).

Théorème. Supposons T sans points périodiques et A  de complémentaire “complètement positif”, i.e., pour toute mesure quasi-invariante ergodique \mu(A^c)>0. Soit p un nombre premier. Alors il existe B\in\mathcal B vérifiant:

  • B,TB,\dots,T^{p-1}B sont deux-à-deux disjoints;
  • A\setminus \bigcup_{j=0}^{p-1} T^jB\in\mathcal W(T).

Remarque. Si (T^p,\mu) est ergodique et \mu(A)=1,  alors on ne peut construire un tel B. (?)

Remarque. B est complètement positif ssi X\setminus\bigcup_{j\geq0} T^jB\in\mathcal W(T).

5. Hyper-finitude

Théorème. L’équivalence orbitale induite par T est hyper-finie, i.e., une union croissante de relations dont les classes d’équivalences sont finies.

Le théorème d’Ornstein (1970) est un des sommets de la théorie ergodique. C’est l’aboutissement des recherches initiées par Kolmogorov sur la classification des schémas de Bernoulli et le point de départ de résultats très généraux. Downarowicz et Serafin ont publié une élégante preuve de ce théorème difficile.

Rappelons l’énoncé du théorème (dans sa version la plus simple). Un décalage de Bernoulli \Sigma est un système dynamique probabiliste constitué de l’espace \{0,1,\dots,N\}^{\mathbb Z} muni de sa tribu borélienne et d’une mesure produit \mu_{p_0,p_1,\dots} \quad (p_n\geq0,\;\sum p_n=1) et du décalage \sigma:(s_n)_{n\in\mathbb Z}\mapsto (s_{n+1})_{n\in\mathbb Z}. Un isomorphisme entre systèmes dynamiques probabilistes (X_i,\mathcal B_i,\mu_i,\sigma_i),\; i=1,2 est une bijection \psi:X_1\to X_2 vérifiant \psi^{-1}(\mathcal B_2)=\mathcal B_1 et \psi\circ\sigma_1=\sigma_2\circ\psi.

Théorème (Ornstein 1970).  Deux décalages de Bernoulli \Sigma^{(i)},\; i=1,2 sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même entropie: H(p^{(1)}):=-\sum_n p_n^{(1)}\log p_n^{(1)} = H(p^{(2)}) (p^{(1)},p^{(2)} sont les vecteurs de probabilité définissant les deux décalages; 0\log 0 = 0 par convention).

La preuve de Downarowicz et Serafin utilise (comme d’autres approches avant eux) un argument de Baire sur les couplages.  L’ensemble des couplages est une partie fermée du compact des mesures boréliennes invariantes et de probabilité pour le produit (dans la topologie * faible – N<\infty). L’ensemble \mathcal E des couplages ergodiques est un G_\delta, donc encore un espace de Baire. L’énoncé principal de Downarowicz et Serafin est:

Théorème.  Soit \Sigma^{(i)},\; i=1,2 deux décalages de Bernoulli. Si H(p^{(1)}) = H(p^{(2)}) alors l’ensemble des facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)} est une partie générique de \mathcal E.

Le théoreme d’Ornstein s’en déduit immédiatement, l’intersection de deux parties génériques d’un espace de Baire étant générique et donc non-vide.

La partie générique du théorème est obtenue comme l’intersection des ouverts \mathcal F_\epsilon, l’ensemble des \epsilon-facteurs \Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)}:  les couplages \xi tels que pour tout b\in\{0,1,\dots,N\}, il existe un borélien B tel que la différence symétrique entre \Sigma^{(1)}\times\{b\} et B\times \Sigma^{(2)} soit de \xi-mesure strictement inférieure à \epsilon.

Les \mathcal F_\epsilon,\;\epsilon>0 étant manifestement ouverts et emboîtés, il suffit de montrer que tout couplage ergodique \xi peut être approché par un élément de \mathcal F_\epsilon. Cette approximation se fait en deux étapes.

Etape 1. Construction d’un facteur \mu\to\nu' pour h(\nu')\sim h(\nu) (\mu:=\mu^{(1)},\nu:=\mu^{(2)})

Etape 2. Modification du facteur en un élément de \mathcal F_\epsilon.

 

 

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Dans un travail récemment diffusé sur arxiv, Jana RODRIGUEZ HERTZ montre le théorème suivant:

Théorème. Soit un difféomorphisme f:M\to M d’une variété compacte tridimensionnelle, de classe C^1 et préservant la mesure volume m. Génériquement, f vérifie l’une des deux assertions suivantes:

  1. m-p.p.les trois exposants de Lyapunov sont nuls;
  2. m-p.p. aucun des trois exposants n’est nul. De plus (a) (f,m) est ergodique; (b) f est partiellement hyperbolique, i.e., admet une décomposition dominée TM=E\oplus^{<} F volume hyperbolique séparant les exposants strictement positifs et strictement négatifs.

 

Ce résultat fait partie d’un ensemble initié par le théorème de Bochi (ETDS 2002, annoncé par Mané en 1983) généralisé par Bochi et Viana (Ann. Math. 2005, en version preprint sur arxiv) sous la forme: pour un difféomorphisme générique d’une variété compacte, de classe C^1 et préservant le volume, la décomposition d’Oseledets (définie m-p.p. par les valeurs des exposants) s’étend en une décomposition dominée. En 2009, Avila et Bochi (Trans AMS 2012, en version preprint sur arxiv) avaient montré qu’en toute dimension, on a génériquement soit on a des exposants nuls presque partout, soit il existe un ensemble dense et de mesure non-nulle sans exposants de Lyapunov et sur lequel la dynamique est ergodique.

Avila, Crovisier and Wilkinson ont annoncé la généralisation en toute dimension du théorème de J. Rodriguez Hertz.

Ingrédients de la preuve. Le point principal (par rapport à ce qui est connu) réside en l’affirmation: si l’ensembleE des points ayant trois exposants \lambda_1(x)<\lambda_2(x)=0<\lambda_3(x) n’est pas de mesure nulle alors f est volume hyperbolique, non seulement au-dessus de E (ceci découle des techniques de Bochi et Viana)  mais globalement. On pourra alors conclure en combinant le théorème d’ergodicité de Hertz-Hertz-Urès et la technique perturbative de Bonatti-Barraviera (qui permet de moyenniser l’exposant central).

La preuve de l’affirmation se fait en considérant K, l’ensemble où f est partiellement hyperbolique privé de l’union des classes d’accessibilité ouvertes. Selon la proposition 5.3, les classes d’accessibilité définissent sur K une lamination compacte.

L’ensemble des feuilles compactes de K est encore une lamination d’après Haefliger. Si celle-ci n’est pas vide,  on peut trouver une feuille de bord qui donne un tore périodique sur lequel f est Anosov. Il existe donc deux points homocliniquement reliés, ce qui amène la contradiction dans ce cas. Supposons donc qu’aucune des feuilles de K n’est compacte.

Les composantes connexes de M\setminus K sont périodiques par préservation du volume. On les complète en ajoutant leurs feuilles de bord. On peut les écrire comme une union d’une partie compacte G et d’un fibré en droites F au-dessus de surfaces non-compactes (arbitrairement petites), l’intersection des deux étant une union d’anneaux.

Soit l’ensemble des points qui reviennent une infinité de fois dans G, soit l’ensemble des points restant après N itérations dans I est d’intérieur non-vide. On peut ensuite utiliser le lemme de fermeture d’Anosov pour trouver les deux points homocliniquement reliés et conclure.

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