Ecrire son premier papier…

Voici un article qui décrit, à l’intention des débutants, comment les choses devraient se passer et comment elles se passent souvent, les contraintes, les difficultés… S.G. KRANTZ, Writing your first paper, Notices of the AMS, November 2007.

Introduction aux algèbres d’opérateurs

Dans le cadre du groupe de travail “Ergodique et dynamique“, Pierre-Yves LE GALL a accepté de faire une courte introduction aux algèbres d’opérateurs pour dynamiciens. En effet, ces techniques interviennent dans un certain nombres de questions dynamiques importantes, par exemple, l’équivalence orbitale entre actions de sur le Cantor (voir par exemple: T. Giordano, H. Matui, I. Putnam, C.F. Skau, Orbit equivalence for Cantor minimal Z^2-actions, J.A.M.S., 21(2008), 863-892, disponible sur cette page).

Exposé no.1 (notes, notes avec audio): C* algèbres de groupes discrets et complétions de :

1. Rappels sur les algèbres de Banach (complexes et unifères): spectre, formule du rayon spectral, calcul fonctionnel, transformée de Gelfand . Correspondances entre représentations unitaires de et de
2. Complétion . Difficulté de caractérisation de l’image de la transformée
3. Complétion selon (supremum sur les représentations unitaires)
4. Défintions et propriétés fondamentales des -algèbres: formule de la norme; morphismes d’algèbres involutives; réalisations comme sous-algèbres involutives et (fortement) fermées de ;  calcul fonctionnel continu; bijectivité de la transformée de Gelfand. Exemple de la caractérisation de la connexité du spectre
5. Complétion selon où est la représentation régulière. Caractérisation de la moyennabiltié et de la propriété de en fonction de
6. Morphismes généralisés (ex. applications linéaires complètement positives)

A suivre…

Existence et unicité de la mesure de Haar

On a le résultat classique suivant:

Théorème. Dans tout groupe topologique localement compact, il existe une mesure borélienne positive, finie sur les compacts et invariante par toutes les translations à gauche. De plus cette mesure est régulière et unique, à un facteur strictement positif près.

Sa preuve se trouve par exemple dans le livre Measure theory de Paul R. Halmos (voir pp. 254, 262). L’existence est obtenue par la stratégie suivante: (1) définition d’une “capacité” (“content” en anglais) des ensembles compacts à partir du nombre de translatés d’un ouvert donné nécessaires pour recouvrir un compact considéré; (2) passage à la “limite” des petits ouverts; (3) obtention d’une mesure à partir d’une “capacité”, i.e., une fonction définie sur les compacts et à valeurs dans , monotone, finiement additive en restriction à des parties disjointes, sous-additive en général. La preuve de l’unicité découle d’une formule reliant deux mesures de Haar quelconques.

Quelques détails:

(1) où est le nombre minimal de translatés de nécessaire pour recouvrir et est un compact d’intérieur non-vide fixé arbitrairement mais pour toute la construction.

(2) voisinage compact de l’identité de et où la fermeture est prise dans la topologie de la convergence simple.

(3) définie sur les ouverts appartenant à la tribu engendrée par les compacts est monotone, dénombrablement additif sur les parties disjointes et dénombrablement sous-additif en général; ouvert et est monotone et dénombrablement sous-additive sur les ensembles inclus dans des unions dénombrables de compacts; pour tout compact et tout ouvert , ; définit une mesure borélienne régulière  sur .

(4) Soit sont deux mesures de Haar. Si satisfait et est mesurable, alors .

Remarque. Le théorème cité concerne l’invariance par les translations à gauche; il existe un théorème analogue pour les translations à droite (considérer la mesure de Haar dans le groupe image par ). Les deux (familles de) mesures ne sont pas nécessairement égales comme le montre l’exemple du groupe matriciel on a et à un facteur près).

Question. Exemples de groupes localement compacts tels que sur ? Une condition nécessaire et suffisante pour l’égalité (p.237 du livre de Halmos) est d’avoir compact pour tout compact .

Transitivité robuste en dynamique hamiltonienne

Dans un article disponible sur arxiv, Nassiri et Pujals établissent des propriétés de mélange robuste pour certains systèmes hamiltoniens notamment en donnant une version symplectique des mélangeurs de Bonatti et Diaz. Une des motivations est la conjecture de diffusion d’Arnold (voir par exemple ce texte) selon laquelle, sauf en dimension 2, une dynamique définie par un hamiltonien , intégrable pour , admet génériquement, dès que , des orbites pour lesquelles l’action varie d’une quantité ne tendant pas vers zéro avec .

Citons deux de leurs théorèmes:

Théorème B.  Soit . Soit deux difféomorphismes symplectiques de classe de deux variétés . Supposons:

1. admet un ensemble invariant hyperbolique et topologiquement transitif;
2. est intégrable et est compact et sans bord.

Alors est accumulé en topologie par des difféomorphismes symplectiques admettant un ensemble robustement transitif (i.e., admettant une continuation, dans un sens faible, encore transitive) et se projetant sur tout entier.

Théorème D. Soit deux hamiltoniens dépendant périodiquement du temps sur deux variétés de volumes finis. Soit pour assez petit. Pour arbitraire, il existe des hamiltoniens s’accumulant sur en topologie et possédant, robustement, un ensemble invariant transitif dont la projection sur est de volume supérieur à .

Fluctuation-Dissipation Relations

Introduction

The fluctuation-dissipation relation (FDR) is a principle of statistical mechanics that relates spontaneous fluctuations (say the random current in a piece of metal) and response to external fields (say the current created by an external electric field). This principle takes various forms depending on the setting (equilibrium or not, linear or not, etc.). It has known relatively recent developments (by Green-Kubo,  Evans-Cohen-Morris,…) and  is currently much used to estimate characteristics like susceptibilities from numerical simulations. It has been considered in other fields like dynamical systems (see, e.g., this preprint) and probability theory (see this other one).

Equilibrium states

The simplest results assume equilibrium.

Fluctuations and susceptibility

According to the canonical formalism, for a system at temperature ,  if is the volume of microstates whose energy belong to , the probability of having energy at most is: where is a normalizing function. It follows at least formally that the averages under satisfy:

and

Hence the variance of the spontaneous fluctuations of the average of the energy is equal to its -derivative  (the heat capacity).

This holds more generally if one replaces by any pair of conjugate thermodynamical variables provided that one can assume that the perturbation to the equilibrium state density is linear: where is the conjugating term in the Hamiltonian and is the average when $\lambda=0$. One then gets: . The susceptibility is therefore again the variance of equilibrium fluctuations  if $\lambda A\equiv \lambda B$.

Stationary states

More sophisticated approaches consider the Hamiltonian dynamics starting from the equilibriu

Kubo’s formula

It deals with a system with Hamiltonian , the last term representing the external field. If is an arbitrary test function, the change in its average at time is given by: with the response function where is the Poisson bracket and is the flow defined by and denotes the average with respect to the equilibrium for Hamiltonian .

If one introduces the dissipative current is where the sum is over the particles and , the response function can be written . Let us apply it to a uniform, constant force along the -direction starting at : , . It follows: and . The transport coefficient   is thus proportional to the fluctuations  at equilibrium (as measured by the self-correlation of the -velocities).

Linear response in stochastic dynamics

This can be analyzed using Langevin dynamics: where is a function, are positive constants, is a white noise. The response function is: suc that: can be computed: where (the average when ).

Origines de la diffusion (A. Kupiainen, ICM 2010)

L’article, disponible sur arxiv, explique l’état de la recherche sur l’origine microscopique  de la diffusion dans les systèmes (microscopiquement) conservatifs. Un exemple fondamental est celui de la loi de Fourrier qui résiste encore à une analyse rigoureuse malgré son apparente évidence.

Une première approche considère le couplage d’oscillateurs. Conjecturalement, les objets physiques sont les états d’équilibre locaux définis à partir d’une mesure de Gibbs produit, en volume infini, où l’on remplace la température par une fonction sur l’espace. On espère démontrer que, dans la limite de variations sur une distance , la dynamique microscopique les fait converger vers l’état d’équilibre global (i.e., la vraie mesure de Gibbs, avec une température uniforme) selon un processus de diffusion dans le sens suivant.

On considère la “moyenne autour” d’une fonction test de l’énergie:

où est l’énergie au site quand l’état du système est donné par .

La limite hydrodynamique est la convergence pour presque toute condition initiale des moyennes précédentes vers où est la solution de l’équation de diffusion: avec une fonction positive et lisse. On ne sait prouver ce genre de convergence aujourd’hui qu’en supposant la présence de bruit.

La seconde approche considère le couplage de dynamiques chaotiques. Les résultats sont ici encore plus rares, peut-être à cause du nombre d”exposants nuls quand le système est découplé. Kupiainen considère un modèle en temps discret, dont la dynamique chaotique est indépendante de l’énergie locale alors que les échanges d’énergie eux dépendent de la dynamique locale. Cette dynamique de l’énergie s’apparente à une marche aléatoire dans un environnement aléatoire en linéarisant au voisinage de $E=0$. Sous des hypothèses de  faible non-linéarité, d’ellipticité uniforme et d’indépendance des échanges entre un site et ses différents voisins, Kupiainen obtient un théorème de convergence vers une diffusion quand l’échelle , presque sûrement en les dynamiques chaotiques: pour une variante de la norme uniforme. H§euristiquement, l’évolution de l’énergie devrait obéir à:

où le premier terme du membre de droite correspond à la moyennisation des dynamiques chaotiques tandis que le deuxième en représente les fluctuations.

La preuve de cette convergence repose l’opérateur de renormalisation: où agit sur un espace de dynamiques aléatoires et la preuve du théorème consiste à montrer la convergence de $\mathcal R^n f$ vers un point fixe déterministe de la forme .

Les très grandes lignes de la preuve sont esquissées en deux pages.  L’essentiel est le traitement du cas linéarisé au voisinage de $E=0$. Ceci se fait sans trop difficultés si l’on ignore les termes de haut degré. Les contrôles correspondants sont délicats. Le passage au cas non linéaire se justifie en utilisant la petitesse des dérivées d’ordre supérieur pour les renormalisées.

En conclusion, Kupiainen observe que ce modèle n’est pas très physique et indique deux questions importantes:

1. considérer :  l’évolution de l’énergie locale comporte alors un terme de forçage.
2. tenir compte de la dépendance des dynamiques locales par rapport à l’énergie: le ralentissement correspondant empêche très probablement d’avoir l’ellipticité uniforme supposée précédemment.

Science et discrimination

Je recommande à tous les membres de commissions de recrutement, et à tous les (futurs) parents, la lecture du livre: “Delusions of gender: the real science behind sex differences” par Cordelia Fine. Elle relate notamment un certain nombre d’expériences psychologique, par exemple:

Si on demande à des étudiants de s’imaginer recrutant pour un poste traditionnellement masculin et de choisir entre deux candidats de sexes différents, l’un ayant les études, l’autre l’expérience voulues – c’est majoritairement l’avantage du candidat mâle qui sera jugé déterminant.

Cet ouvrage dénonce le discours, particulièrement répandu dans le monde anglo-saxon, selon lequel les différences sexuelles qui subsistent dans notre société “sans sexisme” sont la conséquence de notre biologie. On se rappellera par exemple des remarques scandaleuses de Lawrence Summers, qui devaient entraîner sa démission de son poste de président de l’université de Havard.

L’auteur analyse les prétentions scientifiques de nombreux ouvrages de vulgarisation qui, comme Summers, prétendent le plus souvent faire état de résultats scientifiques incontrovertibles, au mépris du politiquement correct et de leurs propres préférences. La réalité s’avère bien différentes – C. Fine donne de nombreux examples, souvent risibles, d’exagérations, de déformations, voire d’inventions pures.

La littérature scientifique elle-même comporte de nombreux articles discutables pour diverses raisons méthodologiques, malgré l’utilisation de techniques avancées. Celles-ci donnent de nouvelles informations, utiles voire fascinantes. Mais elles ne donnent pas toutes les informations (faible résolution temporelle et spatiale) et surtout et laissent entier le problème de comprendre la complexité cérébrale, la façon dont un fonctionnement cérébral différent se traduit ou non par un comportement différent, et les rôles respectifs de la génétique et du développement: ce n’est parce qu’une différence se voit sur un IRM qu’elle est innée!

L’auteur montre par ailleurs comment les enfants élevés aujourd’hui, y compris par des parents militants convaincus de l’égalité des sexes, sont imprégnés des attentes différenciées de la société à leur égard. Elle décrit les influences qui vont du langage à la pression des pairs et les expériences des psychologues qui mettent ces influences et leurs conséquences en évidence.

Elle détaille enfin des expériences troublantes montrant l’influence de ces facteurs sur les adultes. Faire lire à des étudiantes un texte expliquant que les filles sont naturellement moins douées en mathématiques, provoque une baisse de leurs performances moyennes à un test subséquent par rapport à celles ayant reçu un texte affirmant le contraire.

Le jour de gloire est arrivé

Liberté, Liberté chérie,
Combats avec tes défenseurs !
Sous nos drapeaux que la victoire
Accoure à tes mâles accents,
Que tes ennemis expirants
Voient ton triomphe et notre gloire !

Exposé interdisciplinaire

Le 17 novembre, j’ai présenté un exposé Quelques inattendus mathématiques – Crise, chaos, stabilité pour expliquer quelques idées issues de la théorie des systèmes dynamiques à des collègues universitaires non-mathématiciens dans le cadre du Centre d’Alembert.

 

Cette structure de l’Université Paris-Sud a été créée en 1975 à l’initiative de Jean-Pierre Kahane, mathématicien et président de l’université à l’époque, de Roland Omnès, spécialiste de physique théorique et d’Ernest Marie Laperrousaz, historien à l’École Pratique des Hautes Études. C’est un lieu de séminaires, de conférences d’intérêt général et de colloques animés par des spécialistes de disciplines venantde diverses universités et institutions de recherche [d'après la page de présentation du centre].

 

Crises, catastrophes, systèmes hors d’équilibre”C

Novembre à Orsay