0. Problème du générateur
L’existence d’une partition génératrice finie ou dénombrable est équivalente à la possibilité de plonger un système dans un décalage sur un alphabet fini ou dénombrable, ie, et donc conditionne la réductibilité de maints problèmes au cas symbolique. Cette problématique est également fortement liée à l’entropie.
Je répète ici la présentation de Benjamin WEISS, Countable generators in dynamics” (1989) qui a donné une version borélienne (ou si l’on veut mesurable) du théorème de Rokhlin.
1. Théorème de Rokhlin (1963)
Enoncé: Soit un système dynamique probabiliste inversible défini sur un espace de Rokhlin. Si ce système est ergodique, alors il existe une partition dénombrable
dite génératrice unilatérale:
modulo
.
Lemme. Pour toute partition finie et tout mesurable
de mesure non-nulle, il existe une partition dénombrable
de
, telle que
.
Preuve du lemme: On subdivise selon le temps de premier retour, puis chaque morceau correspondant au temps de retour
selon
. La partition
ainsi obtenue est mesurable et dénombrable. Par ergodicité, l’orbite de presque tout point
visite
en un temps
avec
minimal. L’élément de
contenant
est donc contenu dans un élément de
. Dans un espace de Rokhlin, ceci permet de conclure.
Preuve du théorème: On peut supposer apériodique, le théorème étant sinon trivial. Il existe donc une suite de mesurables disjoints
de mesures non-nulles. Dans un espace de Rokhlin, il existe une suite de partitions mesurables finies telles que
modulo
. Le lemme fournit pour chaque entier
, une partition dénombrable
de
. On pose
. C’est bien une partition dénombrable vu la disjonction des
et
modulo
.
2. Version borélienne
Contexte: est un automorphisme d’un espace de Borel standard. On le muni de l’idéal errant
. Un borélien est dit complètement positif si le complémentaire de son orbite positive
appartient à
. Autrement dit, l’ensemble des points qui ne visite pas
une infinité de fois dans le passé et dans le futur appartient à
.
Lemme: Si est apériodique (sans points périodiques), alors il existe un borélien complètement positif satisfaisant
.
Remarque: Si est complètement positif, alors
l’est aussi:
, l’union de deux éléments de
(utilise le théorème de récurrence de Poincaré).
On itère ce lemme en posant et en considérant le système
, ce qui fournit
, donc disjoints de
et de
.
Corollaire: il existe une suite de boréliens disjoints , complètement positifs.
Un espace de Borel standard admet une suite de partitions finies dont l’union est génératrice. A partir de là, il suffit de reproduire la preuve du théorème de Rokhlin.
3. Commentaires
En général il n’existe pas de générateur fini – l’existence d’une mesure de probabilité invariante d’entropie infinie suffit à l’interdire. Dans le cadre mesuré, c’est la seule objection. Dans le cadre borélien,
Question (B. Weiss 1989): Un système dynamique borélien standard n’admettant pas de mesure finie invariante possède-t-il toujours un générateur à deux éléments?

