Jérôme Buzzi's

Existence de générateurs dénombrables

August 30, 2012 by jbuzzi

0. Problème du générateur

L’existence d’une partition génératrice finie ou dénombrable est équivalente à la possibilité de plonger un système dans un décalage sur un alphabet fini ou dénombrable, ie, $\mathbb N^{\mathbb Z}$ et donc conditionne la réductibilité de maints problèmes au cas symbolique. Cette problématique est également fortement liée à l’entropie.

Je répète ici la présentation de Benjamin WEISS, Countable generators in dynamics” (1989) qui a donné une version borélienne (ou si l’on veut mesurable) du théorème de Rokhlin.

1. Théorème de Rokhlin (1963)

Enoncé: Soit $(X,\mathcal X,\mu,T)$ un système dynamique probabiliste inversible défini sur un espace de Rokhlin. Si ce système est ergodique, alors il existe une partition dénombrable $\mathcal P$ dite génératrice unilatérale: $\bigvee_{k\leq0} T^{-k}\mathcal P= \mathcal X$ modulo $\mu$ .

Lemme. Pour toute partition finie $\mathcal P$ et tout mesurable $C$ de mesure non-nulle, il existe une partition dénombrable $\mathcal Q$ de $C$ , telle que $\bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\})\geq \mathcal P$ .

Preuve du lemme: On subdivise $C$ selon le temps de premier retour, puis chaque morceau correspondant au temps de retour $n$ selon $\bigvee_{k=0}^{n-1} T^{-k}\mathcal P$ . La partition $\mathcal Q$ ainsi obtenue est mesurable et dénombrable. Par ergodicité, l’orbite de presque tout point $x$ visite $C$ en un temps $-n$ avec $n\geq0$ minimal. L’élément de $\bigvee_{n\leq0} T^{-n}(\mathcal Q\cup\{X\setminus C\})$ contenant $x$ est donc contenu dans un élément de $\mathcal P$ . Dans un espace de Rokhlin, ceci permet de conclure.

Preuve du théorème: On peut supposer $(\mu,T)$ apériodique, le théorème étant sinon trivial. Il existe donc une suite de mesurables disjoints $C_0,C_1,C_2,\dots$ de mesures non-nulles. Dans un espace de Rokhlin, il existe une suite de partitions mesurables finies telles que $\bigvee_{n\geq0} \mathcal P_n=\mathcal X$ modulo $\mu$ . Le lemme fournit pour chaque entier $n\geq0$ , une partition dénombrable $\mathcal Q_n$ de $C_n$ . On pose $\mathcal Q:=\bigcup_{n\geq0} \mathcal Q_n\cup\{X\setminus\bigcup_{n\geq0}C_n\}$ . C’est bien une partition dénombrable vu la disjonction des $C_n$ et $\bigvee_{n\in\mathbb Z} T^{-n}\mathcal Q\geq\bigvee_{n\geq0} P_n=\mathcal X$ modulo $\mu$ .

2. Version borélienne

Contexte: $(X,\mathcal X,T)$ est un automorphisme d’un espace de Borel standard. On le muni de l’idéal errant $\mathcal W$ . Un borélien est dit complètement positif si le complémentaire de son orbite positive $\bigcup_{n\geq1} T^nB$ appartient à $\mathcal W$ . Autrement dit, l’ensemble des points qui ne visite pas $B$ une infinité de fois dans le passé et dans le futur appartient à $\mathcal W$ .

Lemme: Si $T$ est apériodique (sans points périodiques), alors il existe un borélien complètement positif satisfaisant $A\cap TA=\emptyset$ .

Remarque: Si $A$ est complètement positif, alors $TA$ l’est aussi: $X\setminus\bigcup_{n\geq1} T^n(TA)=(X\setminus\bigcup_{n\geq1}T^nA) \cup \{x\in A:\forall n\geq2 T^nx\notin A\}$ , l’union de deux éléments de $\mathcal W$ (utilise le théorème de récurrence de Poincaré).

On itère ce lemme en posant $A_0:=A$ et en considérant le système $(A_n,\mathcal X\mid A_n,T_{A_n})$ , ce qui fournit $A_{n+1},TA_{n+1}\subset A_n$ , donc disjoints de $TA_n$ et de $A_0,\dots,A_{n-1}$ .

Corollaire: il existe une suite de boréliens disjoints $C_n,n\geq0$ , complètement positifs.

Un espace de Borel standard admet une suite de partitions finies dont l’union est génératrice. A partir de là, il suffit de reproduire la preuve du théorème de Rokhlin.

3. Commentaires

En général il n’existe pas de générateur fini – l’existence d’une mesure de probabilité invariante d’entropie infinie suffit à l’interdire. Dans le cadre mesuré, c’est la seule objection. Dans le cadre borélien,

Question (B. Weiss 1989): Un système dynamique borélien standard n’admettant pas de mesure finie invariante possède-t-il toujours un générateur à deux éléments?

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“Measurable dynamics” (B. Weiss, 1984)

June 3, 2012 by jbuzzi

Quelques notes sur une ancienne présentation de la dynamique mesurable, par B. Weiss (Contemporary Math. 26).

Soit $X$ un espace de Borel standard : espace admettant une métrique complète muni de la tribu $\mathcal B$ des boréliens

Soit $T:X\to X$ un automorphisme: bijection vérifiant $T(\mathcal B)=\mathcal B$ .

0. Théorème de représentation continue

On peut en fait toujours supposer le cadre continu, ie, supposer qu’on a un homéomorphisme d’un espace polonais (mais sans compacité!):

Théorème (George Mackey). Soit $T:X\to X$ un automorphisme d’un espace de Borel standard. $X$ admet une topologie $\tau$ telle que:

$\mathcal B$ est la tribu borélienne de $\tau$ ;
$(X,\tau)$ est admet une métrique complète séparable;
$T:(X,\tau)\to (X,\tau)$ est un homéomorphisme.

1. Mesures quasi-invariantes

1.1 Définitions.

Une mesure borélienne $\mu$ (toujours supposée de probabilité) est:

quasi-invariante si $T_*(\mu),\mu$ sont équivalentes;
apériodique si l’ensemble des points périodiques est de mesure nulle;
continue si tous les singletons sont de mesure nulle;
ergodique si les tous les ensembles invariants sont de mesure nulle ou de complémentaire de mesure nulle;
conservative si $\mu(W)=0$ pour tout ensemble errant.

Remarque: une mesure ergodique et continue est conservative.

Remarque: Il est naturel de considérer les classes de mesures quasi-invariantes, plutôt que celles-ci. Si une mesure non-nulle est $\sigma$ -finie, alors elle est équivalente à une mesure de probabilité. (A vérifier: la restriction aux probas).

1.2. Ensembles errants.

$W\in\mathcal B$ est un ensemble errant ssi $\forall n\ne0\;W\cap T^nW=\emptyset$ .

Définition. L‘idéal errant est $\mathcal W(T):=\{B\in\mathcal B:\exists W \text{ errant t.q. }B\subset \bigcup_{n\in\mathbb Z} T^nW\}$ . Si $X\in\mathcal W(T)$ , on dit que $T$ est totalement dissipatif.

Remarque: $\mathcal W(T)$ est un $\sigma$ -idéal ( $A\in\mathcal W(T),B\in\mathcal B\implies A\cap B\in\mathcal B$ , $A_n\in\mathcal W(T)\implies\bigcup_n A_n\in\mathcal W(T)$ ) et $TA\subset A\implies A\setminus TA\in\mathcal W$ .

Proposition (Récurrence de Poincaré). Pour tout $B\in\mathcal B$ , il existe $B'\subset B$ tel que $B\setminus B'\in\mathcal W(T)$ vérifiant $x\in B'\implies\exists n\to\infty T^nx\in B'$ .

1.3. Théorème de structure

Théorème. Si $T$ est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors il existe un borélien $B$ tel que le premier retour $T_B$ est isomorphe à un odomètre.

1.4. Conséquences

Corollaire. Si $T$ est sans points périodiques et n’est pas dissipatif alors, pour toute transformation $(S,\nu)$, ergodique et non-singulière de type $II_\infty,III$ , il existe une mesure quasi-invariante $\mu$ pour $T$ telle que $(T,\mu)$ et $(S,\nu)$ sont orbites-équivalentes.

Corollaire (Shelah-Weiss, 1982). $\mathcal W(T)=\bigcap_{\mu} \{B\in\mathcal B:\mu(B)=0\}$ où $\mu$ parcourt les mesures continues et quasi-invariantes.

2. Spectre d’un automorphisme

Définition. $\lambda\in S^1$ tel qu’il existe une fonction mesurable $f:A\to S^1\;(A\notin\mathcal W(T))$ vérifiant $f\circ T=\lambda f$ .

Théorème. Si $latexT$ n’est pas dissipatif alors $S^1$ tout entier est le spectre.

3. Généralisation

On peut remplacer $S^1$ par un espace métrique compact et la multiplication par $\lambda\in S^1$ par un homéomorphisme quelconque de ce compact.

4. Tours de Rokhlin

On recherche des invariants en l’absence de mesures de probabilité invariantes.

Exemple. Soit $E\subset S^1$ un ensemble maigre mais de mesure positive. Pour toute rotation irrationnelle $R_\alpha$ , la restriction à $S^1\setminus\bigcup (E+n\alpha)$ donne un tel système. En 1984, on ne sait pas les classifier.

Question. Existe-t-il toujours une partition génératrice finie ou dénombrable modulo $\mathcal W(T)$ ? (“I haven’t been able to decide whether or not countable generators always exist in the Borel sense”)

Remarque. Modulo un ensemble de mesure nulle pour une probabilité invariante, il s’agit des théorèmes de Rokhlin (cas dénombrable) et Krieger (cas fini).

Théorème. Supposons $T$ sans points périodiques et $A$ de complémentaire “complètement positif”, i.e., pour toute mesure quasi-invariante ergodique $\mu(A^c)>0$ . Soit $p$ un nombre premier. Alors il existe $B\in\mathcal B$ vérifiant:

$B,TB,\dots,T^{p-1}B$ sont deux-à-deux disjoints;
$A\setminus \bigcup_{j=0}^{p-1} T^jB\in\mathcal W(T)$ .

Remarque. Si $(T^p,\mu)$ est ergodique et $\mu(A)=1$ , alors on ne peut construire un tel $B$ . (?)

Remarque. $B$ est complètement positif ssi $X\setminus\bigcup_{j\geq0} T^jB\in\mathcal W(T)$ .

5. Hyper-finitude

Théorème. L’équivalence orbitale induite par $T$ est hyper-finie, i.e., une union croissante de relations dont les classes d’équivalences sont finies.

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Une courte preuve du théorème d’Ornstein par Downarowicz et Serafin

May 20, 2012 by jbuzzi

Le théorème d’Ornstein (1970) est un des sommets de la théorie ergodique. C’est l’aboutissement des recherches initiées par Kolmogorov sur la classification des schémas de Bernoulli et le point de départ de résultats très généraux. Downarowicz et Serafin ont publié une élégante preuve de ce théorème difficile.

Rappelons l’énoncé du théorème (dans sa version la plus simple). Un décalage de Bernoulli $\Sigma$ est un système dynamique probabiliste constitué de l’espace $\{0,1,\dots,N\}^{\mathbb Z}$ muni de sa tribu borélienne et d’une mesure produit $\mu_{p_0,p_1,\dots} \quad (p_n\geq0,\;\sum p_n=1)$ et du décalage $\sigma:(s_n)_{n\in\mathbb Z}\mapsto (s_{n+1})_{n\in\mathbb Z}$ . Un isomorphisme entre systèmes dynamiques probabilistes $(X_i,\mathcal B_i,\mu_i,\sigma_i),\; i=1,2$ est une bijection $\psi:X_1\to X_2$ vérifiant $\psi^{-1}(\mathcal B_2)=\mathcal B_1$ et $\psi\circ\sigma_1=\sigma_2\circ\psi$ .

Théorème (Ornstein 1970). Deux décalages de Bernoulli $\Sigma^{(i)},\; i=1,2$ sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même entropie: $H(p^{(1)}):=-\sum_n p_n^{(1)}\log p_n^{(1)} = H(p^{(2)})$ ( $p^{(1)},p^{(2)}$ sont les vecteurs de probabilité définissant les deux décalages; $0\log 0 = 0$ par convention).

La preuve de Downarowicz et Serafin utilise (comme d’autres approches avant eux) un argument de Baire sur les couplages. L’ensemble des couplages est une partie fermée du compact des mesures boréliennes invariantes et de probabilité pour le produit (dans la topologie * faible – $N<\infty$ ). L’ensemble $\mathcal E$ des couplages ergodiques est un $G_\delta$ , donc encore un espace de Baire. L’énoncé principal de Downarowicz et Serafin est:

Théorème. Soit $\Sigma^{(i)},\; i=1,2$ deux décalages de Bernoulli. Si $H(p^{(1)}) = H(p^{(2)})$ alors l’ensemble des facteurs $\Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)}$ est une partie générique de $\mathcal E$ .

Le théoreme d’Ornstein s’en déduit immédiatement, l’intersection de deux parties génériques d’un espace de Baire étant générique et donc non-vide.

La partie générique du théorème est obtenue comme l’intersection des ouverts $\mathcal F_\epsilon$ , l’ensemble des $\epsilon$ -facteurs $\Sigma^{(1)}\to\Sigma^{(2)}$ : les couplages $\xi$ tels que pour tout $b\in\{0,1,\dots,N\}$ , il existe un borélien $B$ tel que la différence symétrique entre $\Sigma^{(1)}\times\{b\}$ et $B\times \Sigma^{(2)}$ soit de $\xi$ -mesure strictement inférieure à $\epsilon$ .

Les $\mathcal F_\epsilon,\;\epsilon>0$ étant manifestement ouverts et emboîtés, il suffit de montrer que tout couplage ergodique $\xi$ peut être approché par un élément de $\mathcal F_\epsilon$ . Cette approximation se fait en deux étapes.

Etape 1. Construction d’un facteur $\mu\to\nu'$ pour $h(\nu')\sim h(\nu)$ ( $\mu:=\mu^{(1)},\nu:=\mu^{(2)}$ )

Etape 2. Modification du facteur en un élément de $\mathcal F_\epsilon$ .

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And now something completely different…

April 11, 2012 by jbuzzi

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Dichotomie: exposants tous nuls / hyperbolicité et ergodicité

April 10, 2012 by jbuzzi

Dans un travail récemment diffusé sur arxiv, Jana RODRIGUEZ HERTZ montre le théorème suivant:

Théorème. Soit un difféomorphisme $f:M\to M$ d’une variété compacte tridimensionnelle, de classe $C^1$ et préservant la mesure volume $m$ . Génériquement, $f$ vérifie l’une des deux assertions suivantes:

$m$ -p.p.les trois exposants de Lyapunov sont nuls;
$m$ -p.p. aucun des trois exposants n’est nul. De plus (a) $(f,m)$ est ergodique; (b) $f$ est partiellement hyperbolique, i.e., admet une décomposition dominée $TM=E\oplus^{<} F$ volume hyperbolique séparant les exposants strictement positifs et strictement négatifs.

Ce résultat fait partie d’un ensemble initié par le théorème de Bochi (ETDS 2002, annoncé par Mané en 1983) généralisé par Bochi et Viana (Ann. Math. 2005, en version preprint sur arxiv) sous la forme: pour un difféomorphisme générique d’une variété compacte, de classe $C^1$ et préservant le volume, la décomposition d’Oseledets (définie $m$ -p.p. par les valeurs des exposants) s’étend en une décomposition dominée. En 2009, Avila et Bochi (Trans AMS 2012, en version preprint sur arxiv) avaient montré qu’en toute dimension, on a génériquement soit on a des exposants nuls presque partout, soit il existe un ensemble dense et de mesure non-nulle sans exposants de Lyapunov et sur lequel la dynamique est ergodique.

Avila, Crovisier and Wilkinson ont annoncé la généralisation en toute dimension du théorème de J. Rodriguez Hertz.

Ingrédients de la preuve. Le point principal (par rapport à ce qui est connu) réside en l’affirmation: si l’ensemble $E$ des points ayant trois exposants $\lambda_1(x)<\lambda_2(x)=0<\lambda_3(x)$ n’est pas de mesure nulle alors $f$ est volume hyperbolique, non seulement au-dessus de $E$ (ceci découle des techniques de Bochi et Viana) mais globalement. On pourra alors conclure en combinant le théorème d’ergodicité de Hertz-Hertz-Urès et la technique perturbative de Bonatti-Barraviera (qui permet de moyenniser l’exposant central).

La preuve de l’affirmation se fait en considérant $K$ , l’ensemble où $f$ est partiellement hyperbolique privé de l’union des classes d’accessibilité ouvertes. Selon la proposition 5.3, les classes d’accessibilité définissent sur $K$ une lamination compacte.

L’ensemble des feuilles compactes de $K$ est encore une lamination d’après Haefliger. Si celle-ci n’est pas vide, on peut trouver une feuille de bord qui donne un tore périodique sur lequel $f$ est Anosov. Il existe donc deux points homocliniquement reliés, ce qui amène la contradiction dans ce cas. Supposons donc qu’aucune des feuilles de $K$ n’est compacte.

Les composantes connexes de $M\setminus K$ sont périodiques par préservation du volume. On les complète en ajoutant leurs feuilles de bord. On peut les écrire comme une union d’une partie compacte $G$ et d’un fibré en droites $F$ au-dessus de surfaces non-compactes (arbitrairement petites), l’intersection des deux étant une union d’anneaux.

Soit l’ensemble des points qui reviennent une infinité de fois dans $G$ , soit l’ensemble des points restant après $N$ itérations dans $I$ est d’intérieur non-vide. On peut ensuite utiliser le lemme de fermeture d’Anosov pour trouver les deux points homocliniquement reliés et conclure.

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Billet d’humeur (1): Est-ce ainsi que l’on gouverne?

April 10, 2012 by jbuzzi

J’ai écrit un premier billet sur le site Images des Mathématiques où j’essaie de faire réfléchir sur les problèmes causés par la forme même adoptée pour gérer l’Etat: comment le “pilotage stratégique par indicateurs” enlève jusqu’à la possibilité de percevoir et encore plus de régler les problèmes concrets.

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Images des Mathématiques

March 21, 2012 by jbuzzi

Ce site est destiné à présenter les mathématiques vivantes à un large public et commence à connaître une petite audience (2700 visiteurs par jour). Il est constitué d’articles rédigés par des mathématiciens, soumis à sélection et relecture. Il s’agit principalement d’articles expliquant une idée de mathématique en prise avec la recherche. Si vous souhaitez contribuer, contactez-moi.

Merci pour toute publicité et lien vers le site Images des Mathématiques. Ne reculant devant rien, j’ai même créé une page facebook.

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